Loi de Cauchy : Cours et exercices

Tout savoir sur la loi de Cauchy : Définition, propriétés et exercices autour de cette loi
Loi de Cauchy

La loi de Cauchy est une loi de probabilité qui doit son nom au mathématicien Louis Augustin Cauchy. Ce n’est clairement pas la loi de probabilité la plus connue.

Prérequis

Définition

La loi de Cauchy est une loi de probabilité continue dépendant de deux paramètres x_0 \in R, a > 0 . Elle a pour univers \R

Densité de probabilité

Sa densité de probabilité est définie par

f(x) =  \dfrac{1}{\pi a \left [1 + \left(\dfrac{x-x_0}{a}\right)^2 \right]}

Si x_0 = 0 et a = 1 , on parle de loi de Cauchy standard avec pour densité de probabilité

f(x) = \dfrac{1}{\pi( 1+x^2)}

Fonction de répartition

Sa fonction de répartition avec les paramètres x_0 et a est définie par

F(x) = \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{\pi} \arctan \left(\frac{x-x_0}{a} \right)

Propriétés

Espérance de la loi de Cauchy

La loi de Cauchy n’a pas d’espérance ! Démontrons le dans le cas standard pour simplifier les calculs (qui resteraient tout de même valable)

On a :

\mathbb{E}(X) =\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x) dx=  \dfrac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x}{1+x^2}dx 

Or,

\int_{0}^{a} \dfrac{x}{1+x^2}dx = \left [\ln(1+x^2) \right]_0^a = \ln(1+a^2)

Et on a

\lim_{a \to + \infty} \ln(1+a^2) = + \infty

Ce qui montre bien la divergence de cette intégrale.

Variance de la loi de Cauchy

La loi de Cauchy n’a pas non plus de variance ! En effet, celle-ci existe sous réserve d’existance de l’espérance.

Somme de lois de Cauchy

Si on pose

\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k

où les x_k suivent une loi de Cauchy. Alors, comme l’espérance n’est pas définie, on n’a pas de convergence vers une quantité déterministe qui serait l’espérance. Cette moyenne reste distribuée selon une loi de Cauchy !

Inverse d’une loi de Cauchy

Si une variable aléatoire suit une loi de Cauchy, alors son inverse suit aussi une loi de Cauchy

Lien avec la loi normale

Si on prend deux variables aléatoires indépendantes de loi normale centrées et de même écart-type, alors leur quotient suit une loi de Cauchy.

Exercices de loi de Cauchy

Exercice 1

Soit X suivant une loi de Cauchy de paramètres 0 et 1. Déterminer une densité de Z = \dfrac{1}{X}

Exercice 2

Soit X suivant une loi de Cauchy de paramètres 0, a et Y indépendante suivant une loi de Cauchy de paramètre 0, a’. Déterminer la loi de X +Y

Calable aléatoire suivant une loi de Poisson P(λ). Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ pour que la suite (P(X=k)) soit décroissante.

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