La loi de Cauchy est une loi de probabilité qui doit son nom au mathématicien Louis Augustin Cauchy. Ce n’est clairement pas la loi de probabilité la plus connue.
Prérequis
Définition
La loi de Cauchy est une loi de probabilité continue dépendant de deux paramètres x_0 \in R, a > 0 . Elle a pour univers \R
Densité de probabilité
Sa densité de probabilité est définie par
f(x) = \dfrac{1}{\pi a \left [1 + \left(\dfrac{x-x_0}{a}\right)^2 \right]}
Si x_0 = 0 et a = 1 , on parle de loi de Cauchy standard avec pour densité de probabilité
f(x) = \dfrac{1}{\pi( 1+x^2)}
Fonction de répartition
Sa fonction de répartition avec les paramètres x_0 et a est définie par
F(x) = \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{\pi} \arctan \left(\frac{x-x_0}{a} \right)
Propriétés
Espérance de la loi de Cauchy
La loi de Cauchy n’a pas d’espérance ! Démontrons le dans le cas standard pour simplifier les calculs (qui resteraient tout de même valable)
On a :
\mathbb{E}(X) =\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x) dx= \dfrac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x}{1+x^2}dx
Or,
\int_{0}^{a} \dfrac{x}{1+x^2}dx = \left [\ln(1+x^2) \right]_0^a = \ln(1+a^2)
Et on a
\lim_{a \to + \infty} \ln(1+a^2) = + \infty
Ce qui montre bien la divergence de cette intégrale.
Variance de la loi de Cauchy
La loi de Cauchy n’a pas non plus de variance ! En effet, celle-ci existe sous réserve d’existance de l’espérance.
Somme de lois de Cauchy
Si on pose
\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k
où les x_k suivent une loi de Cauchy. Alors, comme l’espérance n’est pas définie, on n’a pas de convergence vers une quantité déterministe qui serait l’espérance. Cette moyenne reste distribuée selon une loi de Cauchy !
Inverse d’une loi de Cauchy
Si une variable aléatoire suit une loi de Cauchy, alors son inverse suit aussi une loi de Cauchy
Lien avec la loi normale
Si on prend deux variables aléatoires indépendantes de loi normale centrées et de même écart-type, alors leur quotient suit une loi de Cauchy.
Exercices de loi de Cauchy
Exercice 1
Soit X suivant une loi de Cauchy de paramètres 0 et 1. Déterminer une densité de Z = \dfrac{1}{X}
Exercice 2
Soit X suivant une loi de Cauchy de paramètres 0, a et Y indépendante suivant une loi de Cauchy de paramètre 0, a’. Déterminer la loi de X +Y