Les matrices orthogonales sont un type de matrice que l’on voit généralement lorsqu’on travaille avec les produits scalaires. Découvrons ensemble leur définition, leurs principales propriétés ainsi que quelques applications.
Définition des matrices orthogonales
On se place dans M_n(\mathbb{R}), l’ensemble des matrices carrées à coefficients réels de taille n.
Une matrice A est dite orthogonale si elle vérifie A{}^t A = I_n c’est-à-dire que sa transposée est égale à son inverse.
L’ensemble des matrices orthogonales est noté O_n(\mathbb{R})
Exemples
Les matrices de rotation sont un exemple de matrices orthogonales, par exemple celle de rotation dans \theta
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}Les matrices de permutation sont aussi des matrices orthogonales :
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}Propriétés des matrices orthogonales
- Une matrice est orthogonale si et seulement si {}^t A = A^{-1}
- Une matrice est orthogonale si et seulement si ses colonnes sont orthogonales deux à 2 deux et de norme euclidienne 1.
- Les colonnes forment une base orthonormée
- De même, une matrice est orthogonale si et seulement si ses lignes sont orthogonales deux à 2 deux et de norme euclidienne 1.
- Les lignes forment donc aussi une base orthonormée
- Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut + ou – 1. Si le déterminant vaut 1, on dit que la matrice orthogonale est directe. Sinon, on dit qu’elle est indirecte.
- L’ensemble des matrices orthogonales est un groupe. Ce qui fait que si on multiplie 2 matrices orthogonales entre elles, le résultat obtenu est orthogonal.
- La multiplication d’un vecteur par une matrice orthogonale préserve la norme euclidienne associée au produit scalaire canonique de \mathbb{R}^n de ce vecteur.
- Il existe une réduction des matrices orthogonales par bloc, sous la forme de blocs de matrices de rotation de taille 2 et de coefficients \pm 1 .
Exercices corrigés
Exercice 164
Enoncé :
Corrigé :
Question 1 : On sait que chaque colonne est de norme 1. On a alors \displaystyle \sum_{i=1}^n a_{i,j}^2 =1. En sommant, on a alors : \displaystyle \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n a_{i,j}^2 = n. Utilisons maintenant l’inégalité de Cauchy Schwarz pour arriver à nos fins :
\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |a_{i,j}| & = \displaystyle \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |a_{ij}| \times 1 \\
& = \displaystyle \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |a_{i,j}| \times 1 \\
& \leq \displaystyle \sqrt{\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ij}^2} \times \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n 1^2 } \\
& \leq \displaystyle \sqrt{n} \times \sqrt{n^2 } \\
& \leq \displaystyle n\sqrt{n}
\end{array}Ce qui est bien le résultat attendu
Question 2 : Cette fois, on remarque que \displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} = \langle X, AX \rangle où \langle .,. \rangle est le produit scalaire canonique sur M_{n,1}(\mathbb {R}) et où X est le vecteur colonne qui n’a que des 1.
On remarque que ||X|| = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n 1^2 } = \sqrt{n}. On sait aussi que, comme A est orthogonale, ||AX|| = ||X|| .
Utilisons maintenant Cauchy-Schwarz : \displaystyle |\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} |=| \langle X, AX \rangle| \leq ||AX||.||X|| = ||X||^2 = n
Si vous le préférez, voici la correction de cet exercice en vidéo :
Exercice 415
Enoncé :
Corrigé : On sait que les colonnes d’une matrice orthogonale sont orthogonales 2 à 2. On a donc, en prenant 2 colonnes C_i = (m_{k,i})_{1 \leq k \leq n} et C_j= (m_{k,j})_{1 \leq k \leq n} : \displaystyle \sum_{k=1}^n m_{k,i}m_{k,j}=0. Or, comme tous les coefficients sont positifs ou nuls, il faut que le produit m_{k,i}m_{k,j} soit nul.
Or, chaque colonne a au moins un terme non nul et qui doit donc être différent de chacune des autres colonnes. Comme la matrice possède n colonnes, cela signifie que chaque colonne a un et un seul terme non nul. Comme les matrices orthogonales ont leur colonne qui est de norme 1, ce terme non nul et positif vaut 1.
Les matrices solutions sont donc les matrices de permutation.
Exercice 1193
Enoncé :
Corrigé (en vidéo) :
