Cet article a pour but de définir la fonction carrée, d’en présenter les propriétés principales ainsi que des exercices corrigés pour bien comprendre cette notion ! En prérequis, nous vous conseillons de bien connaitre les notions de :
- Image et antécédent
- Fonction affine
Définition de la fonction carrée
La fonction carrée est une fonction définie sur les réels. En voici sa définition, pour tout x réel, elle est définie par
f(x) = x^2
Et voilà à quoi ressemble sa représentation graphique :
Propriétés de la fonction carrée
La fonction carrée est décroissante sur ]-∞;0[
La fonction carrée est croissante sur ]0;+∞[
En voici la preuve, commençons par le cas positif. Soient x < y 2 réels positifs. On multiplie de chaque côté par x :
x^2 < xy
Or, x < y donc xy < y2. On a donc :
x^2 < y^2
D’où f(x) < g(x).
Dans l’autre sens, faisons une démonstration avec les identités remarquables : Si x < y < 0, on a :
x^2-y^2 = (x-y) (x+y) > 0
Et donc,
x^2 > y^2
La fonction carrée est donc décroissante sur les réels négatifs.
La fonction carrée est une fonction paire :
\forall x \in \mathbb{R}^* , f(-x) = f(x) Résolution d’équations
En notant f la fonction carrée, l’équation f(x) = a aura :
- 2 solutions si a > 0
- 1 solution si a = 0
- 0 solution si a < 0
Dans le cas où a > 0, les deux solutions sont
-\sqrt{a};\sqrt{a}Résolution d’inéquations
On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ a :
- Si a > 0, l’ensemble des solutions est
I = ]-\infty; -\sqrt{a}[ \cup ] \sqrt{a}; + \infty[ - Si a ≤ 0, l’ensemble des solutions est
\R
Ensuite, si on cherche à résoudre f(x) ≤ a :
- Si a < 0, il n’y a pas de solution
- Si a ≥ 0, l’ensemble des solutions est
[ - \sqrt{a};\sqrt{a}]Exercices corrigés
Exercice 1
Résoudre l’équation suivante :
x^2 =2
C’est simple au vu de ce qu’on a écrit avant,
x \in \{- \sqrt{2}; \sqrt{2}\}N’oubliez pas la solution négative !
Exercice 2
Résoudre l’inéquation suivante :
x^2 > - 2
Au vu de ce qu’on a vu, la solution est
\R
Exercice 3
Résoudre l’inéquation suivante :
x^2 \leq 3
Et cette fois, la solution est :
[- \sqrt{3} ;\sqrt{3}]Exercices
Exercice 1
Calculer les antécédents par la fonction carrée des réels suivants
- 4
- -2
- 6
- 50
Exercice 2
Donner un encadrement de la fonction carrée sur les intervalles I suivants :
- I = [-5;2]
- I = [-∞;3[
- I = [2;3]
- I = [-4;-1[
Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{array}{l}
1)\ x^2 \geq 4 \\
2)\ x^2 - 3 \leq 0 \\
3)\ x ^2 \leq 0
\end{array}Exercice 4
On considère la fonction f définie par
f(x) = (x-3)^2 - 9
- Démontrer que f est strictement décroissante sur [-∞;3[
- Démontrer que f est strictement croissante sur [3;+∞[
- En déduire le tableau de variation de f
- Quel est alors le minimum de f ? En quel point est atteint ce minimum ?
Exercice 5
Quels points appartiennent à la représentation graphique de la fonction carrée ?
- (3;10)
- (2;4)
- (-2;4)
- (-3;-9)
Exercice 6
Calculer les images par la fonction carrée des nombres suivants :
- -3
- √9
- 2 + √10
- -2√10
- -22
Exercice 7
Déterminer le ou les antécédents par la fonction carrée des réels suivants lorsque cela est possible :
- 1
- -4
- 0
- 100
- 8
Exercice 8
La schématisation d’une oeuvre d’art construite à l’aide de la fonction carrée est haute de 6 m d’un côté et de 2 m de l’autre.
Calculer la valeur approchée au cm près de sa largeur l.
Exercice 9
Résoudre les équations suivantes :
- 5x2 – 4 = 0
- 3x2 + 2 = 0
- 25x2 = 4
Et si vous voulez aller plus loin :
