La fonction carrée : Cours et exercices corrigés

Cet article a pour but de définir la fonction carrée, d’en présenter les propriétés principales ainsi que des exercices corrigés pour bien comprendre cette notion ! En prérequis, nous vous conseillons de bien connaitre les notions de :

• Image et antécédent
• Fonction affine

Définition de la fonction carrée

La fonction carrée est une fonction définie sur les réels. En voici sa définition, pour tout x réel, elle est définie par

f(x) = x^2 

Et voilà à quoi ressemble sa représentation graphique :

Propriétés de la fonction carrée

La fonction carrée est décroissante sur ]-∞;0[
La fonction carrée est croissante sur ]0;+∞[

En voici la preuve, commençons par le cas positif. Soient x < y 2 réels positifs. On multiplie de chaque côté par x :

x^2 <  xy 

Or, x < y donc xy < y². On a donc :

x^2 <  y^2 

D’où f(x) < g(x).

Dans l’autre sens, faisons une démonstration avec les identités remarquables : Si x < y < 0, on a :

x^2-y^2 =  (x-y) (x+y) > 0 

Et donc,

x^2 > y^2

La fonction carrée est donc décroissante sur les réels négatifs.

La fonction carrée est une fonction paire :

\forall x \in \mathbb{R}^* , f(-x) = f(x) 

Résolution d’équations

En notant f la fonction carrée, l’équation f(x) = a aura :

• 2 solutions si a > 0
• 1 solution si a = 0
• 0 solution si a < 0

Dans le cas où a > 0, les deux solutions sont

-\sqrt{a};\sqrt{a}

Résolution d’inéquations

On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ a :

• Si a > 0, l’ensemble des solutions est

I = ]-\infty; -\sqrt{a}[ \cup ] \sqrt{a}; + \infty[ 

• Si a ≤ 0, l’ensemble des solutions est

\R 

Ensuite, si on cherche à résoudre f(x) ≤ a :

• Si a < 0, il n’y a pas de solution
• Si a ≥ 0, l’ensemble des solutions est

[ - \sqrt{a};\sqrt{a}]

Exercices corrigés

Exercice 1

Résoudre l’équation suivante :

x^2 =2 

C’est simple au vu de ce qu’on a écrit avant,

x  \in \{- \sqrt{2}; \sqrt{2}\}

N’oubliez pas la solution négative !

Exercice 2

Résoudre l’inéquation suivante :

x^2 > - 2 

Au vu de ce qu’on a vu, la solution est

\R

Exercice 3

Résoudre l’inéquation suivante :

x^2 \leq 3 

Et cette fois, la solution est :

[- \sqrt{3} ;\sqrt{3}]

Exercices

Exercice 1

Calculer les antécédents par la fonction carrée des réels suivants

1. 4
2. -2
3. 6
4. 50

Exercice 2

Donner un encadrement de la fonction carrée sur les intervalles I suivants :

1. I = [-5;2]
2. I = [-∞;3[
3. I = [2;3]
4. I = [-4;-1[

Exercice 3

Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{array}{l}
1)\ x^2 \geq 4 \\
2)\ x^2 - 3 \leq 0 \\
3)\ x ^2 \leq 0 
\end{array}

Exercice 4

On considère la fonction f définie par

f(x) = (x-3)^2 - 9

1. Démontrer que f est strictement décroissante sur [-∞;3[
2. Démontrer que f est strictement croissante sur [3;+∞[
3. En déduire le tableau de variation de f
4. Quel est alors le minimum de f ? En quel point est atteint ce minimum ?

Exercice 5

Quels points appartiennent à la représentation graphique de la fonction carrée ?

1. (3;10)
2. (2;4)
3. (-2;4)
4. (-3;-9)

Exercice 6

Calculer les images par la fonction carrée des nombres suivants :

1. -3
2. √9
3. 2 + √10
4. -2√10
5. -2²

Exercice 7

Déterminer le ou les antécédents par la fonction carrée des réels suivants lorsque cela est possible :

1. 1
2. -4
3. 0
4. 100
5. 8

Exercice 8

La schématisation d’une oeuvre d’art construite à l’aide de la fonction carrée est haute de 6 m d’un côté et de 2 m de l’autre.
Calculer la valeur approchée au cm près de sa largeur l.

Exercice 9

Résoudre les équations suivantes :

1. 5x² – 4 = 0
2. 3x² + 2 = 0
3. 25x² = 4

Et si vous voulez aller plus loin :