En géométrie, lorsqu’on travaille avec des droites, la notion de vecteur directeur fait partie des outils qu’on utilise pour décrire une droite. Dans cet article, nous allons voir la méthode pour calculer ce vecteur directeur.
A partir de 2 points
Si on connait 2 points de la droite, notés A et B, alors il est très simple de trouver un vecteur directeur de cette droite. C’est le vecteur \overrightarrow{AB}.
Par exemple, on sait que A(1,2) et B(3,4) sont 2 points appartenant à la droite. Alors, un vecteur directeur de la droite est (3-1;4-2) = (2,2)
Propriétés importantes : Tout vecteur proportionnel non nul à un vecteur directeur est aussi un vecteur directeur. Par exemple (1,1) ou (3,3) est encore un vecteur directeur.
Voici une autre propriété : 2 droites ayant même vecteur directeur sont parallèles.
A partir d’une équation paramétrique
Dans le plan
Dans le plan, l’équation paramétrique d’une droite prend la forme
\left\{
\begin{array}{rcl}
x& =& at+b\\
y &=& ct+d
\end{array}
\right.Il est alors très simple d’avoir un vecteur directeur : on prend
\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}Dans l’espace
Dans l’espace, l’équation paramétrique d’une droite s’écrit
\left\{
\begin{array}{rcl}
x& =& at+b\\
y &=& ct+d\\
z &= & et+f
\end{array}
\right.Là aussi, même logique, un vecteur directeur s’écrit alors
\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} a \\ c\\e \end{pmatrix}A partir d’une équation cartésienne
Dans le plan
Dans le plan, l’équation cartésienne d’une droite est de la forme ac+by +c = 0 . Un vecteur directeur s’écrit alors
\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -b\\ a \end{pmatrix}Attention à ne pas oublier le – d’un des deux côtés
Dans l’espace
Dans l’espace, l’équation cartésienne d’une droite est plus complexe :
\left\{
\begin{array}{rcl}
ax+by+cz+d& =& 0\\
ex+fy+gz+h &=& 0\\
\end{array}
\right.La méthode la plus simple est de calculer le produit vectoriel entre deux les coefficients :
\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} a \\b \\ c \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} e \\ f \\ g \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} bg-fc \\ce-ag \\ af-be \end{pmatrix} Par exemple, si pour une droite on a les équations
\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y+z+1& =& 0\\
x+2y+3z+4 &=& 0\\
\end{array}
\right.Alors, un vecteur directeur est :
\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 1 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times3 - 1 \times 2 \\1\times 1-1\times 3 \\ 1 \times 2-1\times 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} 
