Quand on lance un dé équilibré, on s’attend intuitivement à obtenir « en moyenne » 3,5. Cette idée de valeur moyenne d’une expérience aléatoire, c’est exactement ce que formalise l’espérance. C’est une notion centrale en probabilités : elle intervient dans le calcul des lois binomiales, dans les lois normales, en statistique et en machine learning.
Dans ce cours, on définit l’espérance d’une variable aléatoire discrète, on démontre ses propriétés fondamentales (linéarité, espérance d’une fonction), puis on introduit la variance et l’écart-type. Le tout est illustré par 5 exercices entièrement corrigés.
Définition
Variable aléatoire discrète
Avant de définir l’espérance, rappelons qu’une variable aléatoire discrète X est une variable qui prend un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs x_1, x_2, \ldots, x_n, chacune avec une certaine probabilité P(X = x_i). La donnée de ces valeurs et de leurs probabilités constitue la loi de probabilité de X.
Par exemple, si X représente le résultat d’un lancer de dé équilibré, la loi de X est :
| x_i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X = x_i) | \frac{1}{6} | \frac{1}{6} | \frac{1}{6} | \frac{1}{6} | \frac{1}{6} | \frac{1}{6} |
Espérance : définition formelle
Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x_1, x_2, \ldots, x_n. L’espérance de X, notée E(X), est définie par :
\boxed{E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i)}Autrement dit, l’espérance est la moyenne pondérée des valeurs possibles, chaque valeur étant pondérée par sa probabilité.
Exemple fondamental : le dé équilibré
Pour un dé équilibré à 6 faces :
E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5Le résultat 3,5 n’est pas une valeur que le dé peut prendre, et c’est tout à fait normal : l’espérance représente la moyenne théorique sur un grand nombre de lancers, pas un résultat individuel.
Interprétation concrète
Si on répète l’expérience un grand nombre de fois N, la moyenne des résultats observés se rapproche de E(X) quand N grandit. C’est le contenu de la loi des grands nombres. Lancer un dé 6 000 fois donnera une moyenne très proche de 3,5.
Propriétés de l’espérance
L’espérance possède des propriétés algébriques très commodes, qui permettent souvent d’éviter des calculs fastidieux.
Linéarité de l’espérance
C’est la propriété la plus importante. Pour toute variable aléatoire X et tous réels a et b :
\boxed{E(aX + b) = aE(X) + b}Plus généralement, pour deux variables aléatoires X et Y (même non indépendantes) :
\boxed{E(X + Y) = E(X) + E(Y)}Démonstration de E(aX + b) = aE(X) + b. Par définition :
E(aX + b) = \sum_{i=1}^{n} (ax_i + b) P(X = x_i) = a \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) + b \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i)La première somme est E(X) et la seconde vaut 1 (somme de toutes les probabilités), d’où E(aX + b) = aE(X) + b. ∎
Cas particuliers utiles :
- E(X + Y) = E(X) + E(Y) (toujours vrai, même sans indépendance)
- E(cX) = cE(X) pour toute constante c
- E(c) = c pour toute constante c
Exemple : si E(X) = 3{,}5 (dé équilibré) et qu’on considère la variable Y = 2X + 3, alors E(Y) = 2 \times 3{,}5 + 3 = 10.
Espérance d’un produit
Attention, la multiplicativité n’est pas toujours vraie. On a :
E(XY) = E(X) \times E(Y) \quad \text{si et seulement si } X \text{ et } Y \text{ sont indépendantes}En général, E(XY) \neq E(X) \times E(Y).
Espérance d’une fonction de X
Si g est une fonction quelconque et X prend les valeurs x_1, \ldots, x_n, alors :
E(g(X)) = \sum_{i=1}^{n} g(x_i) P(X = x_i)Cette formule (dite formule de transfert) permet de calculer E(g(X)) sans déterminer la loi de g(X). On l’utilise notamment pour calculer E(X^2), qui intervient dans le calcul de la variance.
Espérance des lois classiques
Voici un récapitulatif des espérances des lois discrètes les plus courantes.
| Loi | Notation | Espérance |
|---|---|---|
| Loi uniforme sur {1, \ldots, n} | \mathcal{U}({1,n}) | \frac{n+1}{2} |
| Loi de Bernoulli | \mathcal{B}(p) | p |
| Loi binomiale | \mathcal{B}(n,p) | np |
| Loi géométrique | \mathcal{G}(p) | \frac{1}{p} |
| Loi de Poisson | \mathcal{P}(\lambda) | \lambda |
Démonstration pour la loi uniforme. Si X suit une loi uniforme sur \{1, 2, \ldots, n\}, chaque valeur a la probabilité \frac{1}{n}, donc :
E(X) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{n} \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}Pour le dé (n = 6), on retrouve bien E(X) = \frac{7}{2} = 3{,}5.
Variance et écart-type
L’espérance donne la valeur moyenne, mais elle ne dit rien sur la dispersion des résultats autour de cette moyenne. C’est le rôle de la variance.
Définition de la variance
La variance de X, notée V(X), mesure la dispersion de X autour de son espérance :
\boxed{V(X) = E\left[\left(X - E(X)\right)^2\right]}C’est la moyenne des carrés des écarts à l’espérance. La variance est toujours positive ou nulle, et elle est nulle si et seulement si X est constante.
Formule de Koenig-Huygens
En pratique, on utilise presque toujours la formule de Koenig-Huygens pour calculer la variance :
\boxed{V(X) = E(X^2) - \left[E(X)\right]^2}Démonstration. En développant le carré dans la définition :
V(X) = E\left[X^2 - 2X E(X) + E(X)^2\right]
Par linéarité de l’espérance :
V(X) = E(X^2) - 2E(X) E(X) + E(X)^2 = E(X^2) - E(X)^2
puisque E(X) est une constante.
Méthode : pour calculer V(X), on calcule d’abord E(X), puis E(X^2) (à l’aide de la formule de transfert), et on applique Koenig-Huygens.
Écart-type
L’écart-type de X, noté \sigma(X), est la racine carrée de la variance :
\sigma(X) = \sqrt{V(X)}L’écart-type a la même unité que X (contrairement à la variance qui est en « unité au carré »), ce qui le rend plus facile à interpréter.
Propriétés de la variance
- V(X) \geq 0, avec égalité si et seulement si X est constante
- V(aX + b) = a^2 V(X) (la variance est insensible aux translations, mais sensible aux changements d’échelle au carré)
- Si X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y)
Exemple : variance du dé
Pour un dé équilibré, on a déjà E(X) = \frac{7}{2}. Calculons E(X^2) :
E(X^2) = \frac{1}{6} (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = \frac{91}{6}Par Koenig-Huygens :
V(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92L’écart-type vaut \sigma(X) = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71.
Méthode : calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire
Voici les étapes à suivre pour calculer E(X) et V(X) dans un exercice.
Étape 1. Identifier la loi de X. Si X suit une loi classique (Bernoulli, binomiale, uniforme, etc.), utiliser directement les formules du tableau ci-dessus.
Étape 2. Sinon, dresser le tableau de la loi de X : lister toutes les valeurs possibles x_i et calculer P(X = x_i). Vérifier que les probabilités somment à 1.
Étape 3. Calculer E(X) = \sum x_i P(X = x_i).
Étape 4. Calculer E(X^2) = \sum x_i^2 P(X = x_i).
Étape 5. Appliquer Koenig-Huygens : V(X) = E(X^2) - E(X)^2.
Étape 6. En déduire \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.
Astuce : quand X s’écrit comme somme de variables de Bernoulli indépendantes, la linéarité de l’espérance et l’additivité de la variance (pour des v.a. indépendantes) simplifient énormément les calculs. C’est la technique utilisée pour retrouver E(X) = np et V(X) = np(1-p) pour la loi binomiale.
Exercices corrigés
Exercice 1 : un dé pipé
Énoncé. Un dé truqué a les probabilités suivantes : chaque face de 1 à 5 a une probabilité \frac{1}{8}, et la face 6 a une probabilité \frac{3}{8}. Calculer l’espérance de ce dé et la comparer à celle d’un dé équilibré.
Corrigé. Vérifions d’abord que les probabilités somment à 1 : 5 \times \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1. C’est bon.
L’espérance vaut :
E(X) = 1 \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{1}{8} + 3 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{1}{8} + 5 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{3}{8}E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 18}{8} = \frac{33}{8} = 4{,}125Pour un dé équilibré, E(X) = 3{,}5. Le dé pipé a une espérance plus élevée de 4{,}125 - 3{,}5 = 0{,}625, ce qui est logique puisque la face 6 sort plus souvent.
Exercice 2 : espérance d’un gain
Énoncé. Un jeu consiste à tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On gagne 10 € si c’est un as, 5 € si c’est un roi, et rien sinon. Calculer le gain moyen par partie.
Corrigé. Soit X le gain. La loi de X est :
| x_i | 0 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| P(X = x_i) | \frac{24}{32} | \frac{4}{32} | \frac{4}{32} |
Il y a 4 as, 4 rois et 24 autres cartes dans un jeu de 32.
E(X) = 0 \times \frac{24}{32} + 5 \times \frac{4}{32} + 10 \times \frac{4}{32} = \frac{0 + 20 + 40}{32} = \frac{60}{32} = \frac{15}{8} = 1{,}875 \text{ €}En moyenne, on gagne 1,88 € par partie. Si le prix d’entrée dépasse ce montant, le jeu est défavorable au joueur.
Exercice 3 : la roulette
Énoncé. À la roulette européenne (37 numéros : 0 à 36), un joueur mise 5 € sur le rouge. Il y a 18 numéros rouges, 18 noirs et 1 vert (le 0). S’il tombe sur rouge, il récupère sa mise plus 5 € de gain. Sinon, il perd sa mise. Calculer l’espérance du gain net.
Corrigé. Soit G le gain net du joueur (positif ou négatif). La loi de G est :
| g_i | +5 | −5 |
|---|---|---|
| P(G = g_i) | \frac{18}{37} | \frac{19}{37} |
L’espérance du gain net vaut :
E(G) = 5 \times \frac{18}{37} + (-5) \times \frac{19}{37} = \frac{90 - 95}{37} = -\frac{5}{37} \approx -0{,}14 \text{ €}L’espérance est négative : en moyenne, le joueur perd environ 14 centimes par mise de 5 €. C’est ce qui garantit la rentabilité du casino sur le long terme.
Exercice 4 : calcul complet avec variance
Énoncé. Une variable aléatoire X a la loi suivante :
| x_i | −2 | 0 | 1 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| P(X = x_i) | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Calculer E(X), V(X) et \sigma(X).
Corrigé. Vérifions : 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}2 = 1. C’est bon.
Espérance :
E(X) = (-2) \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}4 + 4 \times 0{,}2 = -0{,}2 + 0 + 0{,}4 + 0{,}8 = 1Calcul de E(X^2) :
E(X^2) = (-2)^2 \times 0{,}1 + 0^2 \times 0{,}3 + 1^2 \times 0{,}4 + 4^2 \times 0{,}2 = 0{,}4 + 0 + 0{,}4 + 3{,}2 = 4Variance (Koenig-Huygens) :
V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 4 - 1^2 = 3
Écart-type :
\sigma(X) = \sqrt{3} \approx 1{,}73Exercice 5 : assurance et espérance
Énoncé. Une compagnie d’assurance facture une prime annuelle de 500 € pour une assurance habitation. Les statistiques montrent que :
- avec une probabilité de 0,95, aucun sinistre ne se produit (remboursement 0 €),
- avec une probabilité de 0,04, un sinistre mineur se produit (remboursement 5 000 €),
- avec une probabilité de 0,01, un sinistre majeur se produit (remboursement 20 000 €).
Calculer l’espérance du montant remboursé par la compagnie, puis son profit moyen par client.
Corrigé. Soit R le montant remboursé. La loi de R est :
| r_i | 0 | 5 000 | 20 000 |
|---|---|---|---|
| P(R = r_i) | 0,95 | 0,04 | 0,01 |
L’espérance du remboursement vaut :
E(R) = 0 \times 0{,}95 + 5,000 \times 0{,}04 + 20,000 \times 0{,}01 = 0 + 200 + 200 = 400 \text{ €}Le profit moyen de la compagnie par client est :
\text{Profit} = \text{prime} - E(R) = 500 - 400 = 100 \text{ €}En moyenne, la compagnie gagne 100 € par contrat. Ce raisonnement est au fondement de l’actuariat : la loi des grands nombres garantit qu’avec suffisamment de clients, le profit réel sera proche de cette espérance.
Exercices d’entraînement
- On lance trois pièces équilibrées. Soit X le nombre de « pile » obtenu. Déterminer la loi de X, calculer E(X) et V(X).
- Un joueur mise 2 € pour participer à une loterie. Les gains possibles sont : 0 € (probabilité 0,70), 2 € (probabilité 0,20), 10 € (probabilité 0,08) et 100 € (probabilité 0,02). Calculer l’espérance du gain net (gain moins mise). Le jeu est-il favorable au joueur ?
- Soit X une variable aléatoire telle que P(X = k) = \frac{k}{6} pour k \in \{1, 2, 3\}. Vérifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité, puis calculer E(X), V(X) et \sigma(X).
FAQ
L’espérance d’une variable aléatoire est sa valeur moyenne théorique. On la calcule en multipliant chaque valeur possible par sa probabilité, puis en additionnant le tout. Par exemple, l’espérance d’un dé équilibré vaut 3,5. Elle représente la moyenne qu’on obtiendrait en répétant l’expérience un très grand nombre de fois.
La moyenne s’applique à un échantillon de données observées (on additionne et on divise par l’effectif), tandis que l’espérance est une valeur théorique calculée à partir de la loi de probabilité. La loi des grands nombres dit que la moyenne observée converge vers l’espérance quand le nombre d’observations augmente.
On utilise la formule de Koenig-Huygens : V(X) = E(X²) − E(X)². On calcule d’abord E(X), puis E(X²) en appliquant la formule de l’espérance aux carrés des valeurs, et enfin on soustrait le carré de E(X). La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance.
L’espérance permet d’évaluer si un jeu est favorable ou défavorable (loteries, casinos), de fixer des primes d’assurance, de comparer des stratégies d’investissement ou de prédire des résultats moyens. En machine learning, c’est la base du calcul des fonctions de coût et de l’optimisation des modèles.
