Loi hypergéométrique : Cours et exercices corrigés

La loi hypergéométrique est une des lois de probabilité qui apparait pas mal dans la vie quotidienne. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Prérequis

• Les coefficients binomiaux
• Formule de Vandermonde
• Loi binomiale

Définition

La loi hypergéométrique est une loi de probabilité discrète dépendant de 3 paramètres notés N, n et p. Elle a pour univers l’ensemble des entiers. Les contraintes de ces 3 paramètres sont :

• N \in \N
• n \in \{0,\ldots, N \}
• p \in [0,1]

C’est une loi qui est en fait assez proche de la loi binomiale. On tire sans remise n objets d’un ensemble de N objets dont D possèdent une caractéristique particulière

Son univers est \Omega = \{ \max(0;n-qN), \ldots, \min (pN;n) \} où q= 1-p .

\forall k \in \Omega, \mathbb{P}(X=k) = \dfrac{\binom{Np}{k}\binom{Nq}{n-k}}{\binom{N}{n}}

La somme des termes vaut bien 1, elle se déduit de ce qu’on appelle la formule de Vandermonde.

La loi hypergéométrique de paramètre N, n, p est notée \mathcal{H}(N;n;p).

Propriétés

Espérance de la loi hypergéométrique

L’espérance de la loi hypergéométrique de paramètres N, n, p vaut np, comme la loi binomiale.

Variance de la loi hypergéométrique

La variance de la loi de hypergéométrique vaut

\frac{N-n}{N-1} np(1-p)

Approximation par la loi binomiale

Lorsque N tend vers l’infini alors la loi hypergéométrique \mathcal{H}(N,n,p) tend vers la loi binomiale \mathcal{B}(n,p). L’intuition derrière cela est que la différence de population entre un tirage sans remise et un tirage avec remise est faible lorsque la population est grande.

Exercices corrigés de loi hypergéométrique

Exercice 1

Enoncé :

Une caisse contient 12 cartes graphiques parmi lesquelles 3 sont défectueuses. 4 cartes graphiques sont prises au hasard et sans remise de la caisse. Soit X le nombre de cartes graphiques dans l’échantillon.

Donner la fonction de masse de X ainsi que \mathbb{E}(X) et V(X).

Corrigé :

Ce problème peut être modélisé par une loi hypergéométrique de paramètres \mathcal{H}\left(12,4,\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\right). La fonction de masse est donc :

\forall k \in \Omega, \mathbb{P}(X=k) = \dfrac{\binom{Np}{k}\binom{Nq}{n-k}}{\binom{N}{n}}= \dfrac{\binom{3}{k}\binom{9}{4-k}}{\binom{12}{4}}

L’espérance vaut np = 4 \times \frac{1}{4}=1

La variance vaut \frac{N-n}{N-1} np(1-p) = \frac{12-4}{12-1}\times 4 \times \frac{1}{4} \times (1 - \frac{1}{4}) = \frac{8}{11} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{11}

Ce qui conclut cet exercice

Exercice 2

Enoncé :

On prend au hasard, en même temps, cinq paires d’écouteurs dans un lot de 15 dont 3 sont défectueuses. Calculer la probabilité des événements :

1. Au moins une paire d’écouteurs est défectueuse
2. Exactement une paire d’écouteurs est défectueuse.

Corrigé :
Question 1 : On remarque que le nombre X de paires d’écouteurs défecteurs suit la loi hypergéométrique \mathcal{H} \left(15,5,\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\right). On a donc

\mathbb{P}(X\geq 1) = 1 -\mathbb{P}(X=0) = 1 -  \dfrac{\binom{3}{0}\binom{12}{5}}{\binom{15}{5}} \approx 0,7362

Question 2 : Au vu du travail fait à la question 1, on applique directement la formule :

\mathbb{P}(X=1) =  \dfrac{\binom{3}{1}\binom{12}{4}}{\binom{15}{5}} \approx 0,495

Enoncés d’exercices de loi hypergéométrique

Exercice 1

Si X = \mathcal{H}(30,6,15), calculer

1. \mathbb{P}(X=4)
2. \mathbb{P}(X\leq 3)
3. \mathbb{E}(X)
4. V(X)

Exercice 2

L’oral d’un concours comporte au total 200 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois sujets. Un candidat se présente en ayant révisé 100 sujets sur les 200.

1. Quelle est la probabilité pour que le candidat ait révisé :
   (a) les trois sujets tirés;
   (b) exactement deux sujets sur les trois sujets;
   (c) aucun des trois sujets.
2. Définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance

Exercice 3

On tire au hasard un échantillon de 5 personnes d’une classe de 20 personnes dont 10 sont des fumeurs. Soit X le nombre de fumeurs observés dans l’échantillon. Déterminer la distribution complète. Comparer les résultats avec l’approximation par la loi binomiale.

Exercice 4

Une urne contient 20 boules rouges et 8 boules blanches. On pioche simultanément 8 boules et on note R (resp. B ) le nombre de boules rouges (resp. blanches) obtenues.
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de R (resp. B )