La fractale : Définition
Cet article va être très visuel ! Voici la définition d’une fractale. Une fractale est un objet “infiniment morcelé” tel qu’en zoomant dessus on peut retrouver la figure. Ceci est vrai quel que soit le niveau de zoom. Bien que des phénomènes liés au fractale, on attribue la théorisation de cette notion à Benoit Mandelbrot.
Avec un peu de latin : La racine de ce mot vient de fractus qui signifie brisé, irrégulier.
Un peu de maths : formule de la dimension d’une fractale
La dimension d’une fractale, qui est un nombre non entier, se calcule comme suit :
d = \frac{\ln (n)}{\ln(h)}Où n est le nombre d’exemplaires qu’on obtient qu’on on réduit la taille d’un facteur h et ln la fonction logarithme. La dimension n’est donc pas un entier. Si la fractale se dessine en dimension 2 dans un plan sa dimension en tant que fractale est comprise entre 1 et 2. Si elle est représentée dans une figure en dimension 3 (un cube par exemple), sa dimension en tant que fractale est comprise entre 2 et 3. Je donnerai des exemples plus loin.
Exemples de fractale
La fractale dans la nature
Et oui on peut les trouver dans la nature. Le chou de Romanesco en est un bon exemple. Comme vous pouvez le voir dans l’image ci-dessous, son motif se répète. Et si on zoome, on verra de nombreux petits choux de Romanesco.
Il en est de même pour la fougère. En zoomant, on retrouve encore et encore le même motif.
Le flocon de Von Koch
Le flocon de Von Koch fait aussi partie des fractales les plus connues. Chaque triangle à l’intérieur du flocon se repète. Voici en image sa construction.
Et voici la répétition du motif :
Ensemble de Mandelbrot
Revenons donc à celui qui a théorisé les fractales, Mandelbrot. Voici donc, en image, l’ensemble de Mandelbrot
Certaines personnes s’amusent à zoomer le plus possible dans cet ensemble, en utilisant les ressources de l’informatique, exemple en vidéo :
Sierpinsky
Sierpinsky ou Sierpinski a inventé 2 fractales : le tapis sur l’image de gauche et le triangle sur l’image de droite.
Calculons leur dimension. Si on réduit par 3 la taille du carré, on obtient 8 fois le motif. Si on réduit par 2 la taille du triangle, on obtient 3 fois le motif. Leurs dimensions sont donc :
\begin{array}{l}
d_1 = \frac{\ln(8)}{\ln(3)} \approx 1,893 \\ \\
d_2 = \frac{\ln(3)}{\ln(2)} \approx 1,585
\end{array}
Et maintenant si on passe le tapis en 3D, on obtient l’éponge de Menger. Si on réduit d’un facteur 3 la taille du cube, on a 20 sous-cubes. Sa dimension est donc :
d = \frac{\ln(20)}{\ln(3)} \approx 2,73
Fractales et marchés financiers
En ouverture, on utilise par exemple les fractales pour modéliser les cours de bourse. Je vous conseille par exemple cet article si vous voulez en apprendre plus ! Je vous conseille aussi le livre une approche fractale des marchés.
Fractale et architecture
Les fractales sont aussi présentes dans l’architecture. On retrouve la structure fractale dans ce temple du 1er millénaire :
Ou encore dans cette chapelle à l’architecture boisée d’un parc national japonais :
En Asie encore, et plus retrouve aussi des décorations fractales plutôt triangulaires comme dans les églises européennes formant des décorations fractales avec un niveau de détail plutôt impressionnant. Je vous laisse constater par vous-même :
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