Méthode de variation de la constante

Dans cet article, nous allons vous présenter la méthode de variation de la constante. C’est une méthode qui permet de trouver une solution particulière à une équation différentielle

Prérequis

• Dérivées
• Primitives usuelles

Contexte

Nous allons faire dans cet article la méthode de variation de la constante pour les équations différentielles linéaires d’ordre 1 : ay' + by = c

On suppose qu’on a résolu l’équation homogène. On cherche maintenant une solution particulière à l’équation complète. La méthode de la variation de la constante va nous aider à cela.

La méthode

On sait que la solution générale de l’équation homogène s’écrit

y_H(x) = K \exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right), K \in \R

La méthode de variation de la constante nous dit qu’on va alors chercher une solution particulière sous la forme

y(x) = K(x) \exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right)

On remplace dans l’équation. Calculons d’abord y’. On a :

y'(x) = K'(x) \exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right)+ K(x)\left(- \frac{b(x)}{a(x)} \right)\exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right)

Si on réinjecte dans l’équation cela donne :

\begin{array}{ll}
a(x)y' (x) + b(x) y (x) &=\displaystyle  a(x)K'(x) \exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right)\\
&\displaystyle+a(x) K(x)\left(- \frac{b(x)}{a(x)}\right) \exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right)\\
&\displaystyle+b(x) K(x) \exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right)\\
&=  \displaystyle  a(x)K'(x) \exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right)\\
& =c (x) 
\end{array}

On a donc :

K'(x) = \dfrac{c(x)}{a(x)\exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right)}

Et ensuite on intègre pour trouver K et on a \displaystyle y(x) = K(x) \exp\left( - \int \frac{b(x)}{a(x)}dx \right)

Exemple

Exemple 1 : On va résoudre y' + 2y = x

La solution à l’équation homogène est

y_H(x) = K\exp(-2x) 

On entre dans l’utilisation de la méthode de variation de la constante.

Ensuite, on cherche une solution particulière de la forme

y(x) = K(x) \exp(-2x) 

On dérive

y'(x) = K'(x) \exp(-2x) - 2 K(x) \exp(-2x)

Ce qui fait qu’en remplaçant dans l’équation différentielle, on a

\begin{array}{ll}
x &= y'(x) +2y(x)\\
& = K'(x) \exp(-2x) - 2 K(x) \exp(-2x)+ 2 K(x) \exp(-2x) \\
& = K'(x) \exp(-2x)
\end{array}

Ainsi, on a

K'(x) = x \exp(2x) 

On intègre :

\begin{array}{ll}
K(x) &= \displaystyle \int x \exp(2x) \mathrm{dx}\\
&= \displaystyle\dfrac{1}{2}x \exp(2x) -\dfrac{1}{2} \int \exp(2x)\mathrm{dx} \\
&= \displaystyle\dfrac{1}{2}x \exp(2x) -\dfrac{1}{4} \exp(2x)+C\\
&= \dfrac{1}{4} \exp(2x) (2x-1)+C \\
\end{array}

Finalement, on trouve, en recollant les morceaux. :

y(x) = K(x) \exp(-2x) = \dfrac{1}{4}(2x-1) + C \exp(-2x)

Exemple 2 : On va prendre l’équation suivante y'(x) - y(x) = \exp(x)

La solution de l’équation homogène est

y_H(x) = K \exp(x) 

On cherche donc une solution particulière de la forme

y(x) = K(x) \exp(x) 

Dérivons :

y'(x) = K'(x) \exp(x) + K(x) \exp (x) 

Et on réinjecte dans l’équation différentielle :

\begin{array}{ll}
\exp(x) &= y'(x) - y(x)\\
& =K'(x) \exp(x) + K(x) \exp (x)  - K(x) \exp(-2x) \\
& = K'(x) \exp(x)
\end{array}

On se retrouve donc à intégrer :

K'(x) = 1 

D’où

K(x) =x+c

Finalement on obtient

y(x)=K(x) \exp(x) = (x+c)\exp(c)