Loi exponentielle : Cours et exercices corrigés

La loi exponentielle est une des lois de probabilité continue qui a de nombreuses applications. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Prérequis

• Les factorielles
• La fonction exponentielle
• Bonus : La loi géométrique

Définition

La loi exponentielle est une loi de probabilité continue définie par un paramètre noté λ. Elle a pour univers l’ensemble des réels positifs ou nuls.

La loi exponentielle de paramètre λ est notée exp(λ).

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi exponentielle est

 f(x) = \left\{ \begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x }&\text{si }  x \geq 0\\
0 &\text{si } x < 0
\end{array} 
\right.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi exponentielle est

F(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 - e^{-\lambda x }&\text{si }  x \geq 0\\
0 &\text{si } x < 0
\end{array} 
\right.

Propriétés

Espérance de la loi exponentielle

L’espérance de la loi exponentielle de paramètre λ vaut 1/λ. En voici la démonstration, par un calcul direct via l’intégrale. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) &=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x\lambda e^{-\lambda x }dx\\
\end{array}

On fait une intégration par parties (à justifier avec la théorie des intégrales impropres)

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) &=\displaystyle [-xe^{-\lambda x } ]_0^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda x }dx\\
&=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda x }dx\\
&= \dfrac{1}{\lambda}
\end{array}

Ce qui est bien le résultat recherché.

Variance de la loi exponentielle

La variance de la loi exponentielle vaut 1/λ². Là aussi, on va faire un calcul direct. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) &=\displaystyle \int_0^{+\infty}x^2\lambda e^{-\lambda x }dx\\
\end{array}

On va faire 2 intégrations par parties (à justifier aussi) pour obtenir :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) &=\displaystyle [-x^2e^{-\lambda x } ]_0^{+\infty}+[-2x\dfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda x } ]_0^{+\infty}+\dfrac{2}{\lambda}\int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda x }dx\\
&=\displaystyle \dfrac{2}{\lambda}\int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda x }dx\\
&= \dfrac{2}{\lambda^2}
\end{array}

Ce qui se simplifie en :

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) & = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\\
& =\dfrac{2}{\lambda^2} -\left( \dfrac{1}{\lambda}\right)^2\\
& = \dfrac{1}{\lambda^2}
\end{array}

Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !

Lien avec la loi géométrique

Si X suit une loi exponentielle d’espérance 1. Si on pose

Y = \lceil \theta X \rceil 

Alors Y suit une loi géométrique de paramètre

p = 1 - e^{-\frac{1}{\theta}}

Loi sans mémoire

Cette propriété est la version continue de la loi géométrique. On a la propriété suivante, dite d’absence de mémoire. Si X suit une loi exponentielle, alors on a :

\forall s,t \geq 0, \mathbb{P}_{X > t} (X> s+t) = \mathbb{P}(X >s)

Exercices corrigés de loi exponentielle

Exercice 1

Enoncé :

La durée de vie T en année, d’un appareil avant la première panne suit une loi exponentielle de paramètre λ.
D’après une étude, la probabilité que cet appareil tombe en panne pour la première fois avant la fin
de la première année est 0,3. D’après cette étude, déterminer la valeur de λ à 10−2 près.

Corrigé :
On sait que

\mathbb{P}(T<1) = \mathbb{P}(T\leq 1) = 0,3

Or,

 \mathbb{P}(T\leq 1)  = \int_0^1 \lambda e^{-\lambda x} dx = [-e^{-\lambda x}]_0^1= 1-e^{-\lambda}

On a donc l’équation suivante qu’on va résoudre :

\begin{array}{ll}
&1-e^{-\lambda} = 0,3\\
\iff & e^{-\lambda}  = 0,7\\
\iff & \lambda  =- \ln( 0,7)
\iff & \lambda  \approx 0,36
\end{array}

0,36 est donc le résuitat recherché.

Exercice 2

Enoncé :

La durée de vie, exprimée en heures, d’une ampoule est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,0006 .
Sachant qu’une ampoule testée a fonctionné plus de 2000 heures, calculer la
probabilité qu’il tombe en panne avant 2500 heures.

Corrigé :
On utilise le fait que la loi exponentielle est sans mémoire :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}_{X \leq 2000}(X \geq 2500) &= 1 - \mathbb{P}_{X \leq 2000}(X > 2500) \\
& = 1 -  \mathbb{P}(X >500)\\
& = \mathbb{P}(X \leq500)\\
& = \displaystyle \int_0^{500} \lambda e^{-\lambda x} dx\\
&  = [-e^{-\lambda x}]_0^{500}\\
&= 1-e^{-\lambda\times 500}\\
 &\approx 0,26
\end{array}

Ce qui conclut ce calcul.

Enoncés d’exercices de loi exponentielle

Exercice 1

Le temps d’attente exprimé en minutes au guichet d’une assurance est une variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre 𝜆. On sait que la probabilité qu’un client attende moins de 10 minutes est égale à 0,8.

1. Calculer une valeur approchée à 0,0001 de 𝜆
2. Calculer la probabilité qu’un client attende entre 15 et 20 minutes

Exercice 2

Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ>0.
Déterminer λ sachant que P(3⩽X⩽5)=0,4.

Exercice 3

La durée de vie en siècles d’un composant radioactif est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ=0.008. Calculer :

1. P(T < 100)
2. P(100 < T < 160)
3. P(T > 180)
4. Calculer la probabilité que ce composant ne soit pas désintégré au bout de 30 000 ans sachant qu’il n’a pas été désintégré au bout de 20 000 ans.
5. Calculer la durée de vie moyenne de ces composants.

Exercice 4

Deux moteurs identiques A et B sont montés en parallèles sur une machine.
La durée de vie, en jours, de chaque moteur est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ=0.0004.
La machine tombe en panne dès lors que les deux composants cessent de fonctionner. Les durées de vie de A et B sont indépendantes.
Déterminer la probabilité que la machine fonctionne encore après 80 jours.

Exercice 5

Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0.
(u_n) est une suite arithmétique de premier terme a ≥ 0 et de raison r > 0.
On pose pour tout n entier, p_n = P (X > u_n)

1. Démontrer que la suite (p_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison
2. Etudier les variation est la limite de (p_n)

Exercice 6

Soit X une variable aléatoire de paramètre λ > 0. Déterminer τ tel que P(X < τ) = 0,5

Exercice 7

X est une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. La courbe ci-dessous représente sa densité de probabilité

1. Déterminer la valeur de λ
2. Calculer P(X < 1)
3. Calculer P(X > 2)

Exercice 8

Les ampoules électriques d’un tunnel routier sont allumées 24 heures sur 24 et la durée de vie de chaque ampoule suit une loi exponentielle d’espérance 5000 heures. Il y a 200 ampoules dans le tunnel et à l’instant t = 0, on installe des ampoules neuves.
Au bout de combien de temps, la probabilité qu’au moins une ampoule soit en panne dépasse-t-elle 99 % ?

Exercice 9

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson P(λ). Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ pour que la suite (P(X=k)) soit décroissante.