Les décibels : Définition et lien avec les mathématiques

Le décibel est une unité de mesure de l’intensité sonore liée à une échelle logarithmique. L’unité décibel a été nommée en l’honneur d’Alexander Graham Bell en 1923 ou 1924.

Définition des décibels

Le décibel, noté dB est l’unité de la grandeur appelée niveau d'”intensité sonore, qu’on note souvent L. Tout comme les degrés d’angles c’est en fait une unité sans dimension. L est un nombre qui peut prendre n’importe quelle valeur, positive comme négative.

Voici les différentes valeurs communes :

Voici quelques autres seuils :

• Bruissement d’une feuille : 10 dB
• Chuchotements : 30 dB
• Orage violent : 110 dB
• Groupe de rock : 120 dB

Concrètement, il ne faut pas vivre au quotidien au niveau du seuil de danger (près d’une autoroute, contre une discothèque, ..), c’est l’exposition prolongée qui pose problème dans ce cas. Le seuil de douleur est lui à éviter le plus possible et peut causer des douleurs temporelles voire irréversibles.

Décibels et mathématiques

On s’appuie sur le logarithme décimal, noté log, pour définir cette échelle. La formule qui établit l’intensité sonore notée L utilise le logarithme décimal. On définit I₀ comme une constante correspondant au seuil d’audibilité pour l’homme et dont la valeur est I₀ = 1,00 x 10^-12 W.m^-2. On a donc la formule suivante :

L = \log \left ( \dfrac{I}{I_0}\right)

Connaissant le niveau d’intensité sonore L, on peut déterminer l’intensité sonore I :

\begin{array}{ll}
&L =10 \log \left ( \dfrac{I}{I_0}\right)\\
&\dfrac{L}{10} =\log \left ( \dfrac{I}{I_0}\right)\\
\iff & 10^{\frac{L}{10}} = \dfrac{I}{I_0}\\
\iff & I = I_0 10^{\frac{L}{10}}  
\end{array}

Fait important : si on double l’intensité sonore, on augmente le niveau d’intensité sonore de… 3 dB ! Donc, si on a 2 sources de même intensité, il faut faire attention, les décibels ne doublent pas ! Si on a une intensité sonore I₁ = I et une seconde intensité sonore I₂ = 2I, alors :

\begin{array}{ll}
L_2 - L_1 &=10 \log \left ( \dfrac{I_2}{I_0}\right)-\log \left ( \dfrac{I_1}{I_0}\right)\\
&=10 \log \left ( \dfrac{2I}{I_0}\right)-\log \left ( \dfrac{I}{I_0}\right)\\
&=10 \log \left (\dfrac{ \frac{2I}{I_0}}{\frac{I}{I_0}}\right)\\
&= 10\log(2) \\
L_2 - L_1 & \approx 3
\end{array}

Donc faites attention quand vous sommez des décibels. De même, si on multiplie l’intensité sonore par 4, on augmente de 6 dB. Si on multiplie l’intensité sonore par 8, de 9 dB. Et si on la multiplie par 10 ? C’est simple, de 10 dB !