Comment le classement Elo est-il calculé aux échecs ?

Dans cet article, nous allons vous présenter la méthode de calcul du classement Elo. Ce classement est le score qui donne le niveau aux échecs et va donc permettre de comparer le niveau potentiel entre 2 joueurs. Ce sujet peut être une idée de sujet de grand oral.

Un petit peu de théorie mathématique

On note q = p(A/B) la probabilité d’un joueur A de gagner contre un joueur B. Notons aussi le rapport de force f(q) =\dfrac{q}{1-q} qui correspond à “Combien de fois A est plus fort que B”. Cette relation doit être multiplicative, c’est-à-dire que si on a q = p(A/B), r = p(B/C), p = p(A/C), on est censés avoir, f(p) = f(q) \times f(r)

De plus, on peut exprimer p en fonction de ce rapport de force en prenant la fonction réciproque :

p = \dfrac{f(p)}{1+f(p)}

Ensuite, on cherche une fonction différence qui dépend de la probabilité de victoire, cette fonction doit être additive : D(p) = D(q) + D(r) . En effet, la différence de points Elo entre les joueurs A et C doit être égale à la somme des différences de points Elo entre A et B d’une part et entre B et C d’autre part.

Pour passer de f à D, le logarithme semble tout indiqué. Pour avoir des valeurs suffisamment grandes, on a multiplié par 400, pour obtenir la formule suivante :

D(p) = 400 \log(f(p))

Probabilité de gain

Voici le premier point important à retenir. On note D la différence de points entre le premier et le second joueur. En inversant la fonction de la partie précédente de cet article, on obtient que la probabilité de victoire du premier joueur est déterminée par :

p(D) = \dfrac{1}{1+10^{\frac{-D}{400}}}

Actualisation du classement Elo

Le classement initial dépend de plusieurs facteurs comme l’âge ou le type de jeu. Il est généralement compris entre 799 et 1199 (les joueurs d’échecs si vous avez des éléments à m’apporter, je suis preneur).

On note E_n le classement Elo à l’issue du n-ième match. La formule d’actualisation est la suivante :

E_{n+1} = E_n + K (W - p(D)) 

Avec W le résultat de la partie :

• 1 si victoire
• 0 si défaite
• 0,5 si égalité

Et K qui vaut :

• 40 pour les 30 premières parties ou tant que le joueur a moins de 18 ans
• 20 si le joueur est en dessous de 2 400 points
• 10 si le joueur est au-dessus de 2400 points

De plus, la FIDE (fédération internationale des échecs) limite D à 400 dans le calcul du score et même à 350 pour la FFE (fédération française d’échecs)