Cours : Tout savoir sur les formules de Taylor

Retrouvez toutes les formules de Taylor pour toutes les connaitre !
Taylor

Les formules de Taylor font partie des formules les plus importantes en analyse. Voici dans cet article la liste avec leurs énoncés.

Ces formules sont notamment utiles pour calculer des développements limités

Formule de Taylor-Young

Soit f: I \to \R et a \in I. On suppose que f est n-1 fois dérivable dans un voisinage ]a-h,a+h[ de a et que f^{(n)}(a) existe.

Alors, f admet un développement limité en a à l’ordre n avec

f(a+h) = \sum_{k=0}^n \dfrac{h^k f^{(k)}(a)}{k!} + o\left( h^n\right)

Formule de Taylor-Lagrange

Soit f: I \to \R et a,b \in I. On suppose que f est n-1 fois dérivable sur [a,b] et n fois dérivable sur ]a,b[ .

Alors, il existe c \in ]a,b[ tel que

f(b) - \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(b-a)^k }{k!}f^{(k)}(a) = \dfrac{f^{(n)}(c)(b-a)^n}{n!} 

Formule de Taylor avec reste intégrale

Soit f: [a,b] \to \R de classe \mathcal{C}^{n+1}. Alors

f(b) =\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(b-a)^k }{k!}f^{(k)}(a) + \int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t) dt

Inégalité de Taylor-Lagrange

On peut déduire de cette formule l’inégalité de Taylor-Lagrange. On pose, s’il existe M = \sup_{x \in [a,b]} |f^{(n+1)}(x)|. On a alors :

\forall x \in [a,b],\left|f(x) -\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(b-a)^k }{k!}f^{(k)}(a) \right|\leq \dfrac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} 

Formule de Taylor pour les polynômes

Soit P un polynôme de \mathbb{C}_n[X] . Alors

P (X) = \sum_{k=0}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k
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