Ensemble Z : Tout ce qu’il faut savoir sur les entiers relatifs

Découvrez la construction de l’ensemble Z et ses principales propriétés
Ensemble N

Dans cet article, nous vous présentons tout ce qu’il faut savoir sur l’ensemble des entiers relatifs mathbb{N}

Prérequis

Nécessité de l’ensemble Z

Lorsqu’on cherche à résoudre l’équation a = x +b , avec a et b entiers naturels. Si a < b, alors il n’y a pas de solution, construire l’ensemble \mathbb{Z} permet d’avoir des solutions à cette équation.

Construction de l’ensemble Z

On définit sur \mathbb{N} \times \mathbb{N} une relation d’équivalence \mathcal{R} par (n_1,n_2) \mathcal{R}(n'_1,n'_2) \iff n_1+n'_2 = n'_1 + n_2

On définit \mathbb{Z} par le quotient : \mathbb{Z}= \dfrac{\mathbb{N} \times \mathbb{N}}{\mathcal{R}}.

Grâce à ses classes d’équivalence, on peut écrire plus simplement \mathbb{Z} sous la forme d’un élément de sa classe :

  • (d,0), d> 0 où on retrouve les entiers strictement positifs
  • (0,d), d > 0 où on retrouve les entiers strictement négatifs
  • (0,0) où on retrouve 0

Relation d’ordre sur Z

On peut définir une relation d’ordre sur l’ensemble \mathbb{Z} par

a\leq b \iff b-a \in \N

Propriétés de l’ensemble Z

Les propriétés de \mathbb{Z} sont nombreuses et connues. Voici la plupart d’entre elles : \forall x,y,z,t \in \mathbb{Z} :

  • \mathbb{Z} est dénombrable
  • x+y = y+x; xy = yx (Commutativité)
  • x+ (y+z) = (x+y)+z ; (xy) z = x(yz) (Associativité)
  • 0+x = x+0 = x ; x.1 = 1.x = x (Elément neutre)
  • x(y+z) = xy+xz=(y+z)x (Distributivité)
  • x+y = y+z Rightarrow x=y
  • (xz= yz) wedge (z \neq 0) Rightarrow (x=y)
  • x \leq y Rightarrow x+z \leq y +z
  • x \leq y wedge (z\leq t) Rightarrow x+z \leq y +t
  • x \leq y wedge (z \geq 0) Rightarrow x\times z \leq y\times z
  • 0\leq x \leq y wedge 0 \leq z \leq z Rightarrow x\times z \leq y\times t
  • Le produit de deux entiers relatifs de même signe est positif ; le produit de deux entiers relatifs de signes contraires est négatif.
  • Les identités remarquables sont valables
  • (\mathbb{Z},+) est un groupe
  • ( \mathbb{Z},+,x) a une structure d’anneau
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