Définition

Commençons par un petit rappel de ce qu’est une puissance. Soit n un entier et a un réel. an qui se lit a puissance n est définie par

a^n = a \times a \times \ldots \times a 

On multiplie a par lui-même n fois.

Généralisation (prérequis : La fonction exponentielle) : Soit x un réel et a un réel strictement positif. On définit ax par

\forall x \in \R,\  \forall a\in \R_+^*,\ a^x = \exp (x \ln a)

Propriétés des puissances

Voici l’ensemble des propriétés des fonctions puissances à connaitre :

  1. Les produits se transforment en sommes :
a^{n}a^m =a^{n+m}

2. Les puissances de puissance se transforment en produit :

\left(a^m\right)^n = a^{mn}

3. Le produit de puissances se distribue :

(ab)^m = a^mb^m

4. L’inverse d’une puissance revient à prendre l’opposé

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

5. De fait, en combinant 3 et 4, on obtient :

\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}=\frac{b^n}{a^n}

6. Tout comme les produits se transforment en sommes, les quotients se transforment en différence.

\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}

7. Si a est non nul, on a :

a^0 = 1

8. Et voici une dernière formule pour la route :

a^{\frac{n}{m}} = \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^n 

En résumé

Voici la même chose qu’au-dessus mais en plus compact :

 \begin{array}{| c | c | } \hline \\
a^na^m=a^{n+m} &\left(a^{ m}\right)^n = a^{mn} \\ \\ \hline   \\
a^{mn}=a^ma^n& a^{-n} = \frac{1}{a^n}  \\ \\ \hline   \\
\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}=\frac{b^n}{a^n} & \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \\ \\ \hline   \\
a^0 = 1 &a^{\frac{n}{m}} = \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^n   \\ \\ \hline  
   \end{array}

Exemple

Exemple 1
Voici quelques calculs de puissance :

\begin{array}{l}
2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\\ \\
3^{-2}=\frac{1}{3^2}= \frac{1}{ 9}\\\\
\frac{1}{5^{-3}}= 5^3 = 5\times 5\times 5 = 125
\end{array}

Exemple 2
Simplifier la fraction suivante :

\frac{5^3\times \left(5^{-4}\right)^2}{5^{-6}5^8}

On utilise les propriétés la propriété 2 pour obtenir

\frac{5^3\times \left(5^{-4}\right)^2}{5^{-6}5^8} = \frac{5^3\times 5^{-4\times2}}{5^{-6}5^8} = \frac{5^3\times 5^{-8}}{5^{-6}5^8} 

On utilise ensuite la propriété 1 au numérateur et au dénominateur

\frac{5^3\times 5^{-8}}{5^{-6}5^8} =\frac{ 5^{-5}}{5^2} 

Finalement, on utilise la propriété 6

\frac{ 5^{-5}}{5^2} = 5^{-5-2} =5^{-7}

Exercices

Exercice 1
Calculer sans calculatrice les puissance suivantes :

\begin{array}{l}
a)\  2^4 \\
b)\  0^{19}\\
c)\ \left(-1\right)^{22}\\
d)\ \left(-1\right)^{101}\\
e)\ \left(-2\right)^4
\end{array}

Exercice 2
Simplifier puis calculer les expressions suivantes :

\begin{array}{l}
A = \left( 7^{53} 7^{-30}7^{-22} \right) ^2 \\ \\
B=  \frac{5^{13} \times 10^{-4}\times3^9}{10^{-6}\times3^9\times5^{11}}\\ \\
C=  \left( 2 \times 3 \right)^6 \times3^{-4} \times 2 \times 2 ^{-5} \times 3^{-2}
\end{array}

Exercice 3
Utilisez les propriétés 2 et 3 pour transformer en une seule puissance les expressions suivantes :

\begin{array}{l}
A = \left(\left(-9\right)^4\right)^4\\ \\
B = \left(7^5\right)^8\\ \\
C = 3^9\times 3^{-8}\times 3^5\\ \\
D = (-6)^4\times (-6)^5 \times (-6)^{11}
\end{array}

Exercice 4
Ecrire chaque quantité sous la forme d’une seule fraction irréductible

\begin{array}{l}
A = \left(-4\right)^3\\ \\
B =\dfrac{6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}} \\ \\
C = \dfrac{6^{-1}}{6^2} \\ \\
D = \dfrac{1}{10^{141}}-\dfrac{1}{10^{142}}
\end{array}

Exercice 5 (niveau prépa)
Déterminer tous les couples d’entiers naturels n et p tels que

n^p = p^n\ et\ n \neq p 

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