Dans cet article nous allons vous présenter la fonction porte ainsi que ses principales propriétés
Définition de la fonction porte
On appelle fonction porte la fonction définie sur les réels et à valeurs dans \{0,1\} telle que
\forall x \in \R , \Pi(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{ si } x\in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right] \\
0& \text{ sinon }
\end{array}\right.On peut la définir grâce à la fonction de Heaviside H, en disait que \Pi(x) = H \left(t + \frac{1}{2} \right) - \left(t - \frac{1}{2} \right)
Propriétés de la fonction porte.
La fonction porte est en fait un cas particulier de loi uniforme continue. On peut écrire toute loi uniforme continue à partir de la fonction porte. En effet, la loi uniforme continue sur [a,b] s’écrit :
f_X(x) = \dfrac{1}{b-a} \Pi \left(\dfrac{2x-a-b}{2(b-a)} \right)Cette fonction est beaucoup utilisée en traitement du signal. Sa transformée de Fourier est :
\mathcal{F}(\Pi)(f)= \text{sinc}(\Pi f)où sinc est la fonction sinus cardinal, c’est à dire
\forall x \in \R , \text{sinc}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin(x)}{x} & \text{ si } x\neq 0 \\
1 & \text{ si } x= 0
\end{array}\right.
