Dans cet article, nous allons évoquer ce qu’est la transformée de Fourier discrète, un concept qui peut être intéressant pour un élève en terminale en maths expertes.
Définition
On dispose d’un signal de N échantillons (s(0),s(1), \ldots, s(N-1)). La transformée de Fourier discrète (TFD) de ce signal est le vecteur (S(0), S(1), \ldots, S(N-1)) défini par
S(k) = \sum_{n=0}^{N-1}s(n) e^{-2ik\pi \frac{n}{N}}Transformée de Fourier discrète inverse
Connaissant la transformée de Fourier discrète S, on peut retrouver s grâce à la formule suivante :
S(k) = \dfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}s(k) e^{-2in\pi \frac{k}{N}}On pourrait normaliser différemment en mettant un facteur \dfrac{1}{\sqrt{N}} à la transformée et à son inverse ou bien encore mettre le facteur \dfrac{1}{N} à la transformée seulement. Ce qui compte in fine c’est que le produit des deux facteurs de normalisation vale \dfrac{1}{N}
Exercices
Exercice 1
Calculer la TFD de
- (0,1,1)
- (1,1,1,1)
Exercice 2
Calculer la transformée de Fourier discrète inverse de (4,1,4+i)
