Ce sujet, d’actualité si vous lisez l’article en mai 2023, est un sujet faisable pour le grand oral et peut s’avérer marrant. Nous allons étudier la proportion optimale entre hauteur et rayon pour une casserole et comprendre pourquoi les casseroles ont souvent la même forme !
Chapitres utilisés
Modélisation du sujet
On dispose d’une surface S d’inox qu’on va utiliser pour faire une casserole. Le but est, à partir de cette surface S fixée, de maximiser le volume que l’on peut mettre dans la casserole.
La casserole sera modélisée par un cylindre de hauteur h et de rayon r.
La surface du haut n’est pas utilisée par une casserole qui aura donc une seule base et fera par contre tout le tour de sa hauteur.
Optimisation de la forme de la casserole
Définition d’une fonction
La formule du volume de la casserole est la suivante :
V = base \times hauteur = \pi r^2 h
Pour sa surface, on a donc une seule base (contrairement à 2 pour un cylindre classique) qui est un disque et une hauteur qui est donc un rectangle.
La formule de la surface est donc :
S = \pi r^2 + 2\pi r h
On peut maintenant exprimer la hauteur h en fonction du rayon et de la surface :
\begin{array}{ll}
& S = \pi r^2 + 2\pi r h \\
\iff & 2 \pi r h = S - \pi r^2 \\
\iff & h = \dfrac{S - \pi r^2}{2 \pi r}
\end{array}Ainsi, on peut exprimer le volume V en fonction d’une seule variable : le rayon
V= \pi r^2 h = \pi r^2 \dfrac{S - \pi r^2}{2 \pi r}= \dfrac{Sr-\pi r^3}{2}On va alors définir la fonction f suivante, qui est continue et dérivable :
f(x) = \dfrac{Sx-\pi x^3}{2}Calcul du maximum de f
On calcule la dérivée de f :
f'(x) =\dfrac{1}{2}(S - 3 \pi x^2 )f s’annule alors pour :
\begin{array}{ll}
& f'(x) = 0 \\
\iff & S - 3 \pi x^2 = 0 \\
\iff & S = 3 \pi x^2 \\
\iff & x^2 = \dfrac{S}{3 \pi}\\
\iff & x = \sqrt{\dfrac{S}{3 \pi}}
\end{array}Pour la racine, on n’a gardé que la valeur positive car x représente le rayon r. Cela nous donne ce tableau de variation :
Dans ce cas, on obtient que la hauteur vaut :
\begin{array}{ll}
h &= \dfrac{S - \pi r^2}{2 \pi r}\\
& = \dfrac{S-\pi \frac{S}{3\pi} }{2\pi \sqrt{\frac{S}{3 \pi}} }\\
& = \dfrac{S- \frac{S}{3} }{2\sqrt{\frac{\pi S}{3 }} }\\
& = \dfrac{\frac{2S}{3} }{2\sqrt{\frac{\pi S}{3 }} }\\
& = \dfrac{\frac{S}{3} }{\sqrt{\frac{\pi S}{3 }} }\\
& = \dfrac{S}{3}\sqrt{\dfrac{3}{\pi S}}\\
& = \sqrt{\dfrac{S}{3\pi }}\\
h &= r
\end{array}C’est pour cela que les casseroles ont même proportion ! Parce que si on veut minimiser la surface pour un volume donné – ce qui revient au même que maximiser le volume pour une surface donnée, il est nécessaire que la hauteur soit égale au rayon.
On peut aussi se donner le volume correspondant :
V = \pi r^2 h = \pi r^3
