La méthode de Monte-Carlo est une technique utilisée en mathématiques et en informatique pour approximer des solutions à des problèmes difficiles à résoudre de manière exacte. Elle est nommée d’après la ville de Monte-Carlo; et surtout de son Casino, en raison de l’utilisation de cette méthode pour simuler des événements aléatoires dans les jeux de hasard, comme la roulette.
Ce sujet peut être utilisé pour le grand oral du bac !
Définition de la méthode de Monte-Carlo
Passons maintenant à un peu de théorie mathématique :
On cherche à estimer l’espérance d’une fonction g d’une variable aléatoire X ce qui s’écrit :
E(g(X)) = \int g(x) f_X(x) dx
Où f_X est une fonction de densité sur [a,b], le support de g . On va alors souvent prendre pour une distribution uniforme et donc avoir f_X(x) = \dfrac{1}{b-a}.
Pour approximer cette quantité, on va alors considérer la moyenne empirique :
\tilde{g_n} = \dfrac{1}{N}\sum_{k=1}^n g(x_k)On va alors tirer aléatoirement un grand nombre de fois ce nombre pour obtenir une approximation cette espérance. C’est une bonne manière de l’approximer quand on n’est pas capable de la calculer analytiquement.
La méthode de Monte-Carlo est utilisée dans de nombreux domaines, notamment la finance, l’ingénierie, la physique, la biologie et les sciences sociales. Elle permet de résoudre des problèmes complexes qui sont difficiles à aborder de manière analytique, en fournissant des résultats probabilistes qui peuvent être utilisés pour prendre des décisions éclairées.
Applications de la méthode de Monte-Carlo
Détermination de la valeur de Pi
On prend un carré de taille 1 partant de l’origine, comme ci-dessous.
On trace un quart de cercle partant de l’origine, de rayon. L’aire de ce cercle est \dfrac{1}{4}\pi r^2 = \dfrac{\pi}{4}.
Ensuite, on tire de manière aléatoire avec une loi uniforme et un grand nombre de fois les coordonnées x et y d’un certain nombre de points.
On regarde ensuite la proportion qui est à l’intérieur du quart de disque ce qui nous donne une approximation de \dfrac{\pi}{4}. On la multiplie ensuite par 4 pour avoir une approximation de \pi .
Superficie d’un lac
On peut utiliser la méthode de Monte-Carlo pour déterminer la superficie d’un lac. Cette simulation est à prendre de manière imagée. On tire sur une surface connue, de manière aléatoire avec une probabilité uniforme, sur un terrain contenant un lac. On cherche à déterminer la surface de ce lac.
Il faut alors tirer un très grand nombre de boulets, noté X. On retourne ensuite sur le terrain et on va alors trouver N boulets. Ces N boulets sont ceux qui ne sont pas tombés dans le lac. On a alors N – X boulets tombés dans le lac. La proportion de boulets qui est tombée dans le lac est alors \frac{X-N}{X}.
Pour déterminer la superficie du lac, on utilise alors la formule superficie_{lac} = \dfrac{X-N}{X} \times superficie_{terrain}
En finance
Les analystes financiers évaluent habituellement les tendances sur le long terme des cours des actions et conseillent ensuite leurs clients sur les meilleures stratégies à adopter. Pour cela, ils doivent prendre en compte les facteurs du marché pouvant entraîner des changements importants dans la valeur de l’investissement. Ainsi, ils recourent souvent à la simulation de Monte-Carlo pour prédire les résultats possibles afin de soutenir leurs stratégies.
Pour toutes les estimations, il faut bien s’assurer que la probabilité est uniforme est qu’on n’a donc aucun biais dans les simulations qui sont faites. Par exemple, les ordinateurs peuvent avoir des méthodes pseudo-aléatoires pour générer leurs nombres.
