La formule d’Euler est un grand classique parmi les formules de géométrie. Aujourd’hui peu enseignée, vous devriez la connaître pour votre culture scientifique !
La relation d’Euler
Appelée relation d’Euler mais aussi parfois théorème de Descartes-Euler, cette formule fait la relation entre sommets, arêtes et nombre de faces. Soit un polyèdre « de genre 0 ». Intuitivement, cela signifie qu’il peut être déformé en une sphère, ou encore qu’il n’a pas de « trous ». En notant :
- s le nombre de sommets
- a le nombre d’arêtes
- f le nombre de faces
On a alors :
s-a+f = 2
Exemples
Si on prend le cube, celui-ci a :
- 6 faces
- 12 arêtes
- 8 sommets
On retrouve bien alors : 8 - 12 + 6 = 2
En prenant une pyramide à base carrée, on obtient :
- 5 faces
- 8 arêtes
- 5 sommets
On retrouve là aussi : 5 - 8 +5 = 2
Si on prend un cylinbre à base hexagonal, celui-ci a :
- 8 faces
- 18 arêtes
- 12 sommets
Une fois, de plus, on a bien : 12 - 18 + 8 = 2
