Qu’est-ce que le paradoxe d’Achille et de la tortue ?

Cet article a pour but de présenter le paradoxe d’Achille et de la tortue, aussi appelé paradoxe de Zénon. Zénon d’Elée était un philosophe grec et a énoncé plusieurs paradoxes dont celui-ci – le paradoxe d’Achille et de la tortue.

Enoncé du paradoxe d’Achille et de la tortue

Voici ce que dit le paradoxe. Un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec une tortue. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement au lent reptile une avance de cent mètres.

Ce qui dit Zénon est qu’Achille ne peut rattraper la tortue. En effet, si la tortue a de l’avance sur Achille, celui-ci ne peut jamais la rattraper, quelle que soit sa vitesse. Pendant qu’Achille court jusqu’au point d’où a démarré la tortue, cette dernière continue d’avancer. De cette manière, Achille ne pourra jamais combler son retard avec la tortue. Chaque fois qu’Achille atteint l’endroit où se trouvait la tortue, cette dernière a avancé plus loin, même si ce n’est pas beaucoup plus loin.

Explication de ce paradoxe

Le raisonnement de Zénon semble juste. Mais si on réfléchit ne serait-ce que 2 secondes, on se rend compte qu’Achille va bien effectivement rattraper la tortue et peut même aisément la dépasser.

Résolution mathématique

Faisons un peu de modélisation mathématique. Supposons qu’Achille, très rapide, se déplace à 10m/s (soit un peu plus lent qu’Usain Bolt) et que la tortue se déplace à 5 m/s. C’est très excessif mais cela simplifie les calculs ! Supposons aussi que la tortue a 100 mètres d’avance sur Achille.

Lorsque Achille a avancé de 100 mètres, la tortue a avancé de 50 mètres, le tout en 10 secondes. Puis, lorsque Achille fait 50 mètres en 5 secondes, la tortue fait 25 mètres. On peut itérer ce processus autant de fois qu’on veut. Le temps total de parcours est alors T = 10 + 5 + 2,5 + 1,25 + …

On se ramène en fait à une série géométrique qui s’écrit :

T = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{10}{2^n}

Ce qui fait qu’on est ramenés à calculer une somme infinie de terme. On utilise la formule suivante (une des séries usuelles)

 \sum_{n=0}^{+\infty} r q^n = \dfrac{r}{1-q}

Et donc en appliquant cette formule, on s’aperçoit que

T = \dfrac{10}{1- \frac{1}{2}}=\dfrac{10}{\frac{1}{2}}=20

Donc Achille rattrape la tortue en 20 secondes et la dépasse au-delà de ce temps. “Chaque fois qu’Achille atteint l’endroit où se trouvait la tortue, cette dernière a avancé plus loin, même si ce n’est pas beaucoup plus loin.” Cet affirmation est vrai. Sauf que ce processus infini correspond à un laps de temps fini.

Résolution physique

En reprenant les hypothèses de la résolution mathématique, si on regarde la position d’Achille et de la tortue au cours du temps t, alors la position d’Achille est de 10t, celle de la tortue est de 100 + 5t. Alors ils se croisent au temps T lorsque

10T = 100 + 5T

Ce qui se résout en

5T = 100 \iff T = 20

De plus, on remarquera que d’un point de vue pratique, si on est infiniment proche de la tortue, alors on est à son niveau :

• Soit visuellement : Lorsqu’on est à moins d’1 cm ou 1 mm de la tortue, c’est comme si on était à son niveau
• Soit physiquement : La physique quantique nous donne la constant de Planck, de l’ordre de grandeur 10^-35 m qui est un niveau d’incertitude de la position. Donc quand leur distance atteint quelque chose inférieur à cette valeur, on est dans l’intervalle d’incertitude.

On peut appliquer le même genre de raisonnement à par exemple une balle rebondissante qui perd 50% de sa hauteur à chaque rebond et penser qu’elle va rebondir une infinité de fois. Bien qu’en pratique, ce ne soit pas le cas.