Un peu de géométrie : Le triangle de Reuleaux

Qu’est-ce que le triangle de Reuleaux ? Découvrez-le dans cet article qui décrit cette notion et en donne des applications
Triangle de Reuleaux

Connaissez-vous le triangle de Reuleaux ? Si ce n’est pas le cas alors lisez cet article, sinon vous pouvez passer votre chemin et aller voir par exemple notre article sur le ruban de Möbius.

Prérequis

Le triangle de Reuleaux

Pourquoi les plaques d’égout sont-elles rondes ? Si elles étaient carrées ou triangulaires, alors elles pourraient potentiellement tomber dans le trou par inadvertance. Pour une plaque d’égout en forme de disque, ce n’est pas le cas. Le triangle de Reuleaux ne vérifie aussi cette propriété.

Un triangle de Reuleaux est une courbe de largeur constante, c’est-à-dire une courbe dont tous les diamètres ont la même longueur. Voici un exemple ci-dessous

Triangle de Reuleaux

Comment construire un triangle de Reuleaux ?

Pour construire ce type particulier de triangle, c’est simple. On part d’un triangle équilatéral. Ensuite, on trace ensuite 3 cercles à partir de chacun des trois sommets et passant par les 2 autres sommets. On garde ensuite seulement les 3 arcs reliant les sommets, ce qui va nous permettre d’obtenir le résultat voulu.

Généralisations

On peut créer en 3 dimensions un tétraèdre de Reuleaux, avec cette fois, au lieu de faire une intersection de cercles, on va faire une intersection de sphères.

On peut aussi avoir un polygone de Reuleaux, à 4, 5, …, n côtés en prenant un polygone régulier à n côtés, comme dans cet exemple ci-dessous avec un pentagone de Reuleaux :

Pentagone de Reuleaux

Applications

  • Plusieurs pièces de monnaie au Royaume-uni ont cette forme (20 pence et 50 pence notamment), cela permet d’avoir un diamètre constant pour mieux détecter de quelle pièce il s’agit
  • Il est compliqué de percer des trous carrés. Avoir une mèche en forme de triangle de Reuleaux permet de mieux tendre vers des trous carrés en balayant beaucoup mieux tout l’espace.
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