Trouver des équivalents pour les suites récurrentes

Cet article a pour but de présenter des méthodes de calcul des équivalents pour les suites récurrentes et plus précisément pour les suites de la forme

u_0 \in \mathbb{R}, u_{n+1} = f(u_n)

Grâce à cette méthode on va pouvoir résoudre des exercices comme celui-ci :

La théorie

Commençons par la théorie ! On a une suite (u_n) dont on cherche un équivalent. On va considérer la suite v définie par :

v_n = u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha}

Avec α un paramètre à déterminer. Et voici comment on va le déterminer et c’est la clé de la méthode. On cherche α tel que

u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha} \rightarrow l \neq 0 \in \mathbb{R}

Et j’insiste, l doit être non nulle. Une fois qu’on a trouvé ce α, à condition qu’il existe. On sait que

v_n \sim l

Et donc la série des v_n diverge. On peut donc appliquer le théorème de sommation des équivalents :

\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k \sim nl \\
\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}u_{k+1}^{\alpha} - u_k^{\alpha} \sim nl\\
\Leftrightarrow \displaystyle u_{n}^{\alpha} - u_0^{\alpha} \sim nl\\
\Rightarrow \displaystyle u_{n}^{\alpha} \sim nl
\end{array}

Ce qui justifie la dernière étape est que u₀ est une constante donc négligeable devant l’autre terme.
Ce qui nous permet d’avoir l’équivalent suivant :

\displaystyle u_{n} \sim (nl)^{\frac{1}{\alpha}}

Astuce supplémentaire : On peut trouver les termes suivants du développement asymptotique en considérant v_n = u_n – son équivalent et réitérer le procédé décrit ci-dessus.

C’était la théorie, on passe maintenant à la pratique !

Exemple : Résolution de l’exercice 25

Remettons l’énoncé écrit plus haut qui nous demande de trouver un équivalent de suite récurrence :

On va laisser une partie de la preuve au lecteur qui peut montrer que :

• Par récurrence que cette suite est décroissante
• Elle est minorée par 0
• Elle est donc convergente vers une limite l et en résolvant sin(l) = l, on trouve que l = 0.

On pose donc v définie par

v_n = u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha} = \sin(u_n)^{\alpha} - u_n^{\alpha}

Faisons maintenant un développement limité :

\begin{array}{l}
 \sin(u_n)^{\alpha} - u_n^{\alpha} \\
= \left(u_n - \dfrac{u_n^3}{6}+o(u_n^3)\right)^{\alpha} -u_n^{\alpha}\\
= u_n^{\alpha}\left[\left(1 - \dfrac{u_n^2}{6}+ o(u_n^2)\right)^{\alpha} -1\right]\\
= u_n^{\alpha}\left( \dfrac{\alpha u_n^2}{6}+ o(u_n^2)\right)\\
= \left( \dfrac{\alpha u_n^{2+\alpha}}{6}+ o(u_n^{2+\alpha})\right)
\end{array}

Puisqu’on veut un réel, il faut avoir une puissance nulle, donc prenons α = -2. Dans ce cas :

v_n \sim  -\dfrac{-2u_n^{2-2}}{6} = \dfrac{1}{3}

Et maintenant on peut dérouler les calculs :

\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k \sim \dfrac{n}{3} \\
\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}u_{k+1}^{-2} - u_k^{-2} \sim \dfrac{n}{3}\\
\Leftrightarrow \displaystyle u_{n}^{-2} - u_0^{-2} \sim  \dfrac{n}{3}\\
\Rightarrow \displaystyle u_{n}^{-2} \sim  \dfrac{n}{3}\\
\Leftrightarrow \displaystyle \dfrac{1}{u_{n}^{2}} \sim  \dfrac{n}{3}
\end{array}

On arrive donc au résultat voulu :

\Leftrightarrow \displaystyle u_{n} \sim \sqrt{ \dfrac{3}{n} }

Et voilà on a notre équivalent ! Pour plus d’exercices d’équivalents de suites vous pouvez aller voir notre page d’exercice sur les équivalents de suites !

Ce cours vous a plu ? N’hésitez pas à le dire en commentaire !