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Ensemble de nombres
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Tout savoir sur les très grands nombres 

Dans cet article, nous allons vous présenter tous les grands nombres à connaître. Au-delà du million et du milliard, comment sont appelés les nombres ? Comment les représenter de manière efficace ? Nous allons voir tout cela dans cet article ! 

Les noms des grands nombres se terminant par -ion et -iard

Les millions et les milliards suffisent généralement pour exprimer les grandes valeurs. Mais dans certains cas, on a besoin de nombres encore plus grands. Par exemple, 1 g d’eau contient environ 6,02.1023 atomes. On peut dire que cela fait environ 0,6 quadrillion d’atomes.

Combien il y a-t-il d’atomes dans l’univers ? Environ 1080. On peut aussi dire que c’est 100 Tredecillion. Voici une liste des dénominations de grands nombres :  

  • Million : 1 suivi de 6 zéros
  • Milliard : 1 suivi de 9 zéros
  • Billion : 1 suivi de 12 zéros
  • Billiard : 1 suivi de 15 zéros
  • Trillion : 1 suivi de 18 zéros
  • Quatrillion : 1 suivi de 24 zéros
  • Quintillion : 1 suivi de 30 zéros
  • Sextillion : 1 suivi de 36 zéros
  • Septillion : 1 suivi de 42 zéros
  • Octillion : 1 suivi de 48 zéros
  • Nonillion : 1 suivi de 54 zéros
  • Décillion : 1 suivi de 60 zéros
  • Undécillion : 1 suivi de 66 zéros
  • Duodécillion : 1 suivi de 72 zéros
  • Tredécillion : 1 suivi de 78 zéros
  • Quattuordécillion : 1 suivi de 84 zéros
  • Quindécillion : 1 suivi de 90 zéros
  • Sexdécillion : 1 suivi de 96 zéros
  • Septendécillion : 1 suivi de 102 zéros
  • Octodécillion : 1 suivi de 108 zéros
  • Novemdécillion : 1 suivi de 114 zéros
  • Vigintillion : 1 suivi de 120 zéros
  • Centillion : 1 suivi de 600 zéros

Lors de notre article qui parle d’où vient le nom Google, nous avions aussi parlé du Gogol et du Gogolplex, des nombres plutôt gigantesques eux aussi ! 

La notation de Knuth

Lorsque les puissances ne suffisent plus, Knuth a exprimé une notation en 1976 pour pouvoir aller sur des nombres toujours plus grands. Sa notation est exprimée avec des flèches verticales dirigées vers le haut. 

Voici le fonctionnement de sa notation : 

  • On définit par a↑b = ab
  • Puis a↑↑b = a↑a↑…↑a (b fois)
  • En ensuite : a↑↑↑b = a↑↑a↑↑…↑↑a (b fois) 

Les nombres montent très vite, par exemple 2↑↑4 = 2↑2↑2↑2= 2↑2↑22 = 2↑24 = 216 = 65536. Ok pas mal, maintenant regardons le nombre 3↑↑↑3. On a alors 3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑3↑3) = 3↑↑(327) = 3↑↑7 625 597 484 987 = 3↑3↑…↑3 (7 625 597 484 987 fois). On a donc des puissances de 3 enchainées 7 625 597 484 987 fois. C’est déjà impossible d’écrire ce nombre via une puissance de 10 ou une puissance plus classique. 

La notation de Conway

Comme si cette notation n’était pas suffisante, Conway est allé encore plus loin. La notation a→b→c signifie a↑…↑b et c est le nombre de flèches entre a et b. 

Par exemple : 

3→4→6 signifie 3↑↑↑↑↑↑4. Un nombre qui est déjà impossible d’écrire à l’aide d’une puissance de 10 tellement il est grand.  

Le nombre de Graham

On va définir une suite récurrente en utilisant la notation de Conway

  • u0 = 4
  • u1 = 3→3→u0
  • u2 = 3→3→u1

On a donc de manière générale la relation suivante : un+1 = 3→3→un

Le nombre de Graham est le 65ème terme de cette suite.  Pourquoi ce terme est-il important ? Il est connu pour avoir été longtemps le plus grand entier apparaissant dans une démonstration mathématique. Il a été un majorant de ce problème :

Soit un hypercube de dimension n dont on relie tous les couples de sommets pour obtenir un graphe complet à 2n sommets. Si l’on colorie chacune des 2n–1(2n – 1) arêtes du graphe en bleu ou en rouge, quelle est la plus petite valeur de n telle que, pour chaque façon de colorier le graphe, il existe un sous-graphe complet monochrome sur quatre sommets coplanaires ?

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