Tout savoir sur la suite de Conway

Découvrez la suite de Conway, qui fait partie des suites les plus connues
Conway

Moins connue que la suite de Fibonacci, la suite de Conway est une suite particulière dont il est intéressant de parler, nous lui avons donc dédié un article !

Introduction

Commençons par une énigme. Voici la suite de nombres 1, 11, 21, 1211 , 111221, 312211. Quel est le terme suivant ? Réfléchissez quelques instants. Cette suite la suite de Conway.

Cette suite a été inventée par le mathématicien John H. Conway.

Comment est définie la suite de Conway ?

Notons (X_n)_{n\in \N} la suite de Conway. Son premier terme X_0 vaut 1. Elle est ensuite définie par le terme par récurrence en lisant à voix haute le terme précédent. Avec un tableau vous allez mieux comprendre !

Nombre initialOn le litCe qui s’écrit
1un 111
11deux 121
21un 2 un 11211
1211un 1 un 2 deux 1111221
111221troix 1 deux 2 un 1312211
312211un 3 un 1 deux 2 deux 113112221

Le terme recherché dans l’énigme au-dessus est donc 13112221. On peut évidemment itérer aussi loin qu’on le souhaite.

Quelques propriétés de la suite de Conway

  • La suite qui commence par 1 ne contient que les chiffres 1, 2 ou 3
  • Si n \geq 3 , alors X_n commence par 1 ou 3.
  • A part le premier terme, tous les termes de la suite possèdent un nombre pair de chiffres
  • Elle est strictement croissante
  • On a \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{X_{n+1}}{X_n}=\lambda \lambda \approx 1,303577 est appelée la constante de Conway
  • A partir de n = 8, les termes commencent de manière cyclique par “1113”, “3113” et “1321”
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