Moins connue que la suite de Fibonacci, la suite de Conway est une suite particulière dont il est intéressant de parler, nous lui avons donc dédié un article !
Introduction
Commençons par une énigme. Voici la suite de nombres 1, 11, 21, 1211 , 111221, 312211. Quel est le terme suivant ? Réfléchissez quelques instants. Cette suite la suite de Conway.
Cette suite a été inventée par le mathématicien John H. Conway.
Comment est définie la suite de Conway ?
Notons (X_n)_{n\in \N} la suite de Conway. Son premier terme X_0 vaut 1. Elle est ensuite définie par le terme par récurrence en lisant à voix haute le terme précédent. Avec un tableau vous allez mieux comprendre !
| Nombre initial | On le lit | Ce qui s’écrit |
| 1 | un 1 | 11 |
| 11 | deux 1 | 21 |
| 21 | un 2 un 1 | 1211 |
| 1211 | un 1 un 2 deux 1 | 111221 |
| 111221 | troix 1 deux 2 un 1 | 312211 |
| 312211 | un 3 un 1 deux 2 deux 1 | 13112221 |
Le terme recherché dans l’énigme au-dessus est donc 13112221. On peut évidemment itérer aussi loin qu’on le souhaite.
Quelques propriétés de la suite de Conway
- La suite qui commence par 1 ne contient que les chiffres 1, 2 ou 3
- Si n \geq 3 , alors X_n commence par 1 ou 3.
- A part le premier terme, tous les termes de la suite possèdent un nombre pair de chiffres
- Elle est strictement croissante
- On a \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{X_{n+1}}{X_n}=\lambda où \lambda \approx 1,303577 est appelée la constante de Conway
- A partir de n = 8, les termes commencent de manière cyclique par “1113”, “3113” et “1321”
