Tout savoir sur la notion d’infini

Comment définir la notion d’infini ? Pourquoi ce symbole ? Un peu d’histoire autour de ce signe infini
Infini

Que peut-on dire sur la notion d’infini ? Cette notion, faisable pour le grand oral, est à la frontière entre philosophie, physique et mathématiques.

Quand on commence à compter : 1, 2, 3, … 199, 200, …, on voit aussi de très grands nombres (gogol, gogolplex, et encore plus grand !). Puis vient ce que beaucoup appellent le plus grand nombre : l’infini. Mais qu’est-ce que ce nombre ?

D’où vient le symbole infini ?

Ce 8 penché nous viendrait du Mathématicien John Wallis (le même que celui des intégrales de Wallis). Un peu d’histoire : la lettre m en chiffre romain signifiait 1000. La ligature de m est très proche du signe \infty. Cette boucle fermée peut évoquer l’infini car on peut la parcourir indéfiniment.

Qu’est-ce que l’infini ?

Cette notion est plus compliquée à définir qu’il n’y parait. Connait-on dans notre univers quelque chose infini ? Il est assez consensuel que la taille de l’univers ne l’est a priori pas. Le nombre d’étoiles ou même d’atomes non plus.

Une des premières découvertes liée à l’infini date de l’époque de Pythagore : c’est l’irrationalité de racine de 2. En effet, et on ne le savait pas encore à l’époque, on parlait de longueur inexprimable, racine de 2 possède une infinité de chiffres après la virgule. C’est la première crise de l’histoire des mathématiques.

On a aussi la même chose avec le nombre Pi, qui intéresse les mathématiciens depuis désormais plus de 4000 ans et donc on bat quasiment chaque année un nouveau record de décimales.

Toujours dans l’antiquité, le paradoxe d’Achille et la tortue fait intervenir la notion d’infini : comment avec un nombre infini de pas peut-on faire une distance finie ?

Voici comment Blaise Pascal parle de l’infini en écrivant sur le thème de l’infiniment petit et l’infiniment grand, avec une approche… théologique :

…ces extrémités se touchent et se réunissent à force de s’être éloignées, et se retrouvent en Dieu et en Dieu seulement.

Blaise Pascal

Un infini peut-il être plus grand qu’un autre ?

On pourrait en faire tout un article, mais voici une synthèse : Georg Cantor au XIXème siècle définit plusieurs infini : א(qui se prononce aleph) :

  • Aleph 0 qui est le premier infini qui correspond aux ensembles dénombrables ( \N, \Z, \mathbb{Q} par exemple
  • Aleph 1 \R en fait partie
  • Puis Aleph 2 (ensemble des fonctions de \R dans \R par exemple), Aleph 3, … et on peut continuer… à l’infini. C’est le genre de choses qu’on fait en cours de logique poussée.

Ce qu’il faut retenir dans cette théorie, c’est qu’il y a des infinis plus grand que d’autres

L’infini des nombres entiers n’est pas
celui des nombres réels

Georg Cantor

L’hôtel de Hilbert

Si on passe au XXème siècle, on passe au paradoxe de l’hôtel infini, de Hilbert : Soit un hôtel infini ayant une infinité de chambres, toutes occupées. S’il arrive un nouveau client on pourra le loger. En effet, il suffira de décaler tout le monde d’une chambre.

Encore mieux, on peut loger une infinité de nouveaux arrivants : on décale chaque personne de la chambre ayant le numéro double et ça marchera :

  • 1 va dans 2
  • 2 va dans 4
  • 3 va dans 6

Ainsi, toutes les chambres impairs seront libres et on pourra loger cette infinité de nouveaux arrivants.

Conclusion

Pour conclure, voici une définition axiomatique de l’infini que nous pouvons donner :

Un ensemble est infini s’il peut être mis en correspondance (ce qui veut dire en bijection) avec une de ses parties stricte.

De plus, quand on parle de fractales, on parle aussi d’infini. En effet les répétitions infinies de ces figures ont de quoi intriguer

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