Théorème des accroissements finis : Démonstration et exercices corrigés

Dans cet article, nous allons vous présenter le théorème des accroissements finis, utile dans certaines démonstrations.

Prérequis

• Le théorème de Rolle

Cours 

Soit f une fonction réelle d’une variable réelle f : [a,b ] \to \R continue et dérivable sur ]a,b [ . Alors il existe un réel c dans ]a,b [ vérifiant

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)

Généralisation

Soient f et g deux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b [ . Alors il existe un réel c de l’intervalle ]a,b [ tel que

(f(b) - f(a) ) g'(c) = (g(b)-g(a)) f'(c)

On peut aussi appeler ce théorème, théorème de la moyenne de Cauchy.

Démonstration

Démontrons le théorème des accroissements finis grâce au théorème de Rolle. Considérons la fonction g définie par

g(x) = f(x) - f(a) - (x-a) \times \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

On a g(b) = g(a) = 0

Donc, il existe c \in ]a,b [ tel que g'(c) = 0 . Or,

g'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Donc c vérifie :

 f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Exercices corrigés 

Exercice 1

Enoncé : Montrer qu’une fonction dont la dérivée est positive est une fonction croissante

Corrigé : Il faut rappeler qu’une fonction est croissante si et seulement si

\forall x,y , x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)

Prenons x et y tels que x < y. f est une fonction dérivable donc d’après le théorème des accroissement finis, il existe c \in ]x,y[ tel que

f'(c) = \dfrac{f(y) - f(x) }{y-x} \iff f(y) - f(x) = f'(c) (y-x) 

Or, on a f'(c) \geq 0 et y -x > 0 donc f(y)-f(x) \geq 0 , on en déduit f(y) \geq f(x) . Ainsi, f est croissante.

Exercice 2

Enoncé : Soit f: [a,b ]\to \R_+^* continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ . Montrer qu’il existe c \in ]a,b[ tel que

\dfrac{f(b)}{f(a)}=  \exp \left[ \dfrac{f'(c)}{f(c)}(b-a)\right]

Corrigé : Considérons g définie par g(x) = ln(f(x)) . Appliquons le théorème des accroissements finis à g (les hypothèses sont bien vérifiées) :

\exists c \in ]a,b[, g'(c) = \dfrac{g(b) - g(a) }{b-a}

Or, g'(x) = \frac{f'(c)}{f(c)}. Donc,

\frac{f'(c)}{f(c)}= \dfrac{\ln(f(b)) -\ln( g(a)) }{b-a} 

En transformant cette expression, on obtient

\ln \left(\dfrac{f(b)}{f(a)} \right) = \frac{f'(c)}{f(c)}(b-a) 

Puis en prenant l’exponentielle, on obtient le résultat attendu :

\dfrac{f(b)}{f(a)}  = \exp\left[\frac{f'(c)}{f(c)}(b-a) \right]

Exercice 3

Enoncé : Soit f : [0,1 ]\to \R une fonction de classe \mathcal{C}^1 vérifiant f(0) = 0 et f(1) = 1 . Démontrer que, pour tout n \geq 1, il existe 0 < x_1 < \ldots < x_n < 1 tels que \displaystyle \sum_{k=1}^n f'(x_k)=n

Corrigé : Pour n = 1, c’est facile, on applique le théorème des accroissement finis entre 0 et 1 et le résultat tombe directement :

\exists x_1 \in ]0,1[,f'(x_1) =  \dfrac{f(1) -f(0)}{1-0} = \dfrac{1}{1}= 1

Dans le cas général, on applique le théorème des accroissement finis entre \dfrac{i-1}{n} et \dfrac{i}{n} . On a donc

\exists x_i  \in \left[\dfrac{i-1}{n} ,\dfrac{i}{n}  \right], f'(x_i) = \dfrac{f\left( \dfrac{i}{n}\right) - f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)}{\dfrac{i}{n}-\dfrac{i-1}{n}} 

Or,

 \dfrac{f\left( \dfrac{i}{n}\right) - f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)}{\dfrac{i}{n}-\dfrac{i-1}{n}} = n \left(f\left( \dfrac{i}{n}\right) - f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)\right)

Et maintenant sommons :

\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_{i=1}^n f'(x_i)& =\displaystyle \sum_{i=1}^n n \left(f\left( \dfrac{i}{n}\right) - f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)\right)\\
& =\displaystyle n\left(f\left( \dfrac{n}{n}\right) - f\left(\dfrac{0}{n}\right)\right)\\
&= n\left( f(1) -f(0) \right)\\
&=  n
\end{array}

Et les x_i sont bien distincts 2 à 2 car ils appartiennent à des intervalles 2 à 2 disjoints.