Théorème des accroissements finis : Démonstration et exercices corrigés

Voici un cours avec des exercices corrigés sur le théorème des accroissements finis
théorème des accroissements finis

Dans cet article, nous allons vous présenter le théorème des accroissements finis, utile dans certaines démonstrations.

Prérequis

Cours 

Soit f une fonction réelle d’une variable réelle f : [a,b ] \to \R continue et dérivable sur ]a,b [ . Alors il existe un réel c dans ]a,b [ vérifiant

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)

Généralisation

Soient f et g deux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b [ . Alors il existe un réel c de l’intervalle ]a,b [ tel que

(f(b) - f(a) ) g'(c) = (g(b)-g(a)) f'(c)

On peut aussi appeler ce théorème, théorème de la moyenne de Cauchy.

Démonstration

Démontrons le théorème des accroissements finis grâce au théorème de Rolle. Considérons la fonction g définie par

g(x) = f(x) - f(a) - (x-a) \times \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

On a g(b) = g(a) = 0

Donc, il existe c \in ]a,b [ tel que g'(c) = 0 . Or,

g'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Donc c vérifie :

 f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Exercices corrigés 

Exercice 1

Enoncé : Montrer qu’une fonction dont la dérivée est positive est une fonction croissante

Corrigé : Il faut rappeler qu’une fonction est croissante si et seulement si

\forall x,y , x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)

Prenons x et y tels que x < y. f est une fonction dérivable donc d’après le théorème des accroissement finis, il existe c \in ]x,y[ tel que

f'(c) = \dfrac{f(y) - f(x) }{y-x} \iff f(y) - f(x) = f'(c) (y-x) 

Or, on a f'(c) \geq 0 et y -x > 0 donc f(y)-f(x) \geq 0 , on en déduit f(y) \geq f(x) . Ainsi, f est croissante.

Exercice 2

Enoncé : Soit f: [a,b ]\to \R_+^* continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ . Montrer qu’il existe c \in ]a,b[ tel que

\dfrac{f(b)}{f(a)}=  \exp \left[ \dfrac{f'(c)}{f(c)}(b-a)\right]

Corrigé : Considérons g définie par g(x) = ln(f(x)) . Appliquons le théorème des accroissements finis à g (les hypothèses sont bien vérifiées) :

\exists c \in ]a,b[, g'(c) = \dfrac{g(b) - g(a) }{b-a}

Or, g'(x) = \frac{f'(c)}{f(c)}. Donc,

\frac{f'(c)}{f(c)}= \dfrac{\ln(f(b)) -\ln( g(a)) }{b-a} 

En transformant cette expression, on obtient

\ln \left(\dfrac{f(b)}{f(a)} \right) = \frac{f'(c)}{f(c)}(b-a) 

Puis en prenant l’exponentielle, on obtient le résultat attendu :

\dfrac{f(b)}{f(a)}  = \exp\left[\frac{f'(c)}{f(c)}(b-a) \right]

Exercice 3

Enoncé : Soit f : [0,1 ]\to \R une fonction de classe \mathcal{C}^1 vérifiant f(0) = 0 et f(1) = 1 . Démontrer que, pour tout n \geq 1, il existe 0 < x_1 < \ldots < x_n < 1 tels que \displaystyle \sum_{k=1}^n f'(x_k)=n

Corrigé : Pour n = 1, c’est facile, on applique le théorème des accroissement finis entre 0 et 1 et le résultat tombe directement :

\exists x_1 \in ]0,1[,f'(x_1) =  \dfrac{f(1) -f(0)}{1-0} = \dfrac{1}{1}= 1

Dans le cas général, on applique le théorème des accroissement finis entre \dfrac{i-1}{n} et \dfrac{i}{n} . On a donc

\exists x_i  \in \left[\dfrac{i-1}{n} ,\dfrac{i}{n}  \right], f'(x_i) = \dfrac{f\left( \dfrac{i}{n}\right) - f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)}{\dfrac{i}{n}-\dfrac{i-1}{n}} 

Or,

 \dfrac{f\left( \dfrac{i}{n}\right) - f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)}{\dfrac{i}{n}-\dfrac{i-1}{n}} = n \left(f\left( \dfrac{i}{n}\right) - f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)\right)

Et maintenant sommons :

\begin{array}{ll}
\displaystyle \sum_{i=1}^n f'(x_i)& =\displaystyle \sum_{i=1}^n n \left(f\left( \dfrac{i}{n}\right) - f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)\right)\\
& =\displaystyle n\left(f\left( \dfrac{n}{n}\right) - f\left(\dfrac{0}{n}\right)\right)\\
&= n\left( f(1) -f(0) \right)\\
&=  n
\end{array}

Et les x_i sont bien distincts 2 à 2 car ils appartiennent à des intervalles 2 à 2 disjoints.

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