Le théorème de Varignon n’est pas explicitement au programme de seconde mais il apparait souvent au détour d’un exercice. Le but de cet article et d’énoncer ce théorème puis de le démontrer.
Prérequis
Enoncé du théorème de Varignon
Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Soient E, F, G, H les milieux de ses côtés. Alors EFGH est un parallélogramme.
Voici un exemple avec une figure :
Le théorème est valable pour un quadrilatère quelconque, c’est à dire que si il est croisé ou concave, cela va aussi fonctionner !
Démonstration du théorème de Varignon
Voici la démonstration de ce théorème en utilisant des vecteurs.
- E est le milieu de [AD] donc \overrightarrow{DA} = 2\overrightarrow{EA}
- F est le milieu de [AB] donc \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AF}
En utilisant 2 fois la relation de Chasles, on en déduit que c \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{EF}. De plus,
- G est le milieu de [BC] donc \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{GC}
- H est le milieu de [CD] donc \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{CH}
En utilisant 2 fois la relation de Chasles, on en déduit que c \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{CH}=2\overrightarrow{GH}.
On a donc, d’une part \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{EF} et d’autre part \overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{BD}=-=2\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{HG}. D’où 2\overrightarrow{EF}= 2\overrightarrow{HG} et donc \overrightarrow{EF}= \overrightarrow{HG}.
La règle du parallélogramme nous permet de conclure que EFGH est un parallélogramme.
