Théorème de Varignon : Enoncé et démonstration

Qu’est-ce que le théorème de Varignon ? Découvrez ce théorème de géométrie dans cet article !
Théorème de Varignon

Le théorème de Varignon n’est pas explicitement au programme de seconde mais il apparait souvent au détour d’un exercice. Le but de cet article et d’énoncer ce théorème puis de le démontrer.

Prérequis

Enoncé du théorème de Varignon

Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Soient E, F, G, H les milieux de ses côtés. Alors EFGH est un parallélogramme.

Voici un exemple avec une figure :

Le théorème est valable pour un quadrilatère quelconque, c’est à dire que si il est croisé ou concave, cela va aussi fonctionner !

Démonstration du théorème de Varignon

Voici la démonstration de ce théorème en utilisant des vecteurs.

  • E est le milieu de [AD] donc \overrightarrow{DA} = 2\overrightarrow{EA}
  • F est le milieu de [AB] donc \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AF}

En utilisant 2 fois la relation de Chasles, on en déduit que c \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{EF}. De plus,

  • G est le milieu de [BC] donc \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{GC}
  • H est le milieu de [CD] donc \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{CH}

En utilisant 2 fois la relation de Chasles, on en déduit que c \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{CH}=2\overrightarrow{GH}.

On a donc, d’une part \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{EF} et d’autre part \overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{BD}=-=2\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{HG}. D’où 2\overrightarrow{EF}= 2\overrightarrow{HG} et donc \overrightarrow{EF}= \overrightarrow{HG}.

La règle du parallélogramme nous permet de conclure que EFGH est un parallélogramme.

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