Exercice corrigé : Le théorème de réarrangement de Riemann

Cet article a pour but de démontrer le théorème de réarrangement de Riemann. Découvrez ce magnifique théorème au résultat peu intuitif.

Séries absolument convergentes

Nous disposons de critères de convergence lorsqu’il s’agit de séries pour lesquelles le terme général garde un signe constant. Par ailleurs, il est connu que l’on peut s’y ramener même lorsque le terme général ne garde pas un signe constant, ou même si l’on parle de séries à valeurs complexes (Il est à noter aussi que lorsque que la série est alternée, on dispose du critère général des séries alternées).

Pour cela, on dispose de l’absolue convergence et du théorème suivant :

Théorème : Prenons une série quelconque, éventuellement complexe. Si elle est absolument convergente, alors elle est convergente.

Une idée de preuve:

• Lorsque que le terme général est à valeurs réelles, on le décompose de la manière suivante :

u_n=u_n^+-u_n^-

Ainsi, on se rend compte que,

u_n^+\leq|u_n|\ \ \&\ \ u_n^-\leq|u_n|

Comme la série est absolument convergence et que les deux termes de la décomposition du terme général sont des suites positives, on peut conclure par comparaison pour les séries à termes positifs.

• Pour le cas complexes c’est la même chose mais en prenant la partie réelle et imaginaire, puis en passant au module.

Séries semi-convergentes

Après avoir vu ce théorème fondamental, on peut se demander si la réciproque est vraie, comme pour toute implication.

La réponse est claire : Non. La convergence n’implique pas nécessairement l’absolue convergence. Pour cela, on donne un contre-exemple.

Quelle est la série à termes positifs divergente la plus connue ? La série harmonique. Donc, le mieux ça serait de trouver une série qui lorsque l’on passe la valeur absolue au terme général, donne un terme général équivalent à celui de la série harmonique.

\sum \frac{(-1)^n}{n+1}

Convient parfaitement.

En effet, elle relève du critère spécial pour les séries alternées, donc elle est convergente. Cependant elle n’est pas absolument convergente par comparaison avec la série harmonique.

Les séries semi-convergentes sont donc des objets dangereux à manipuler.

Principe de réarrangement

Lorsque l’on dispose d’une série semi-convergente, on peut remarquer qu’en réordonnant les termes de la série, on peut faire tendre sa somme vers la valeur que l’on veut.

Le principe est le suivant :

• On choisit un nombre x, n’importe lequel.
• On range les termes positifs de la suite que forme le terme général dans une liste et les termes négatifs (avec leur signe) dans une autre. Ce qui nous donne deux listes distinctes et ordonnées.
• On prend le premier terme de la série, admettons qu’il soit positif.
• S’il est plus grand que x, on ajoute le premier terme de la liste négative. S’il est plus petit que x, on ajoute le deuxième terme de la liste positive.
• On itére le procédé : On ajoute les termes, si on dépasse x, on ajoute un terme négatif, et si on est en dessous de x, on ajoute un terme positif.

Cependant, cela implique des paradoxes. On reprend l’exemple vu plus haut, de la série harmonique alternée.

On note S la somme de cette série.

\begin{array}{rl}S&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{(-1)^n}{n}+...\\ 
&=(1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12}+...+(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2})-\frac{1}{4n}+...\\
&=(\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{10})-\frac{1}{12}+...+(\frac{1}{4n-2})-\frac{1}{4n}+...\\
&=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{(-1)^n}{n}+...)\\
\Rightarrow S&=\frac{S}{2}
\end{array}

Ce qui est absurde, car d’après le critère spécial,

\frac{1}{2}\leq S \leq 1

L’opération illicite qui a été faite, c’est le réarrangement fait à la deuxième ligne. Pour expliquer concrètement ce paradoxe, il faut revenir aux sommes partielles :

S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\frac{1}{2}S_n+\frac{1}{2}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}

On remarque que l’on peut voir la dernière somme comme une somme de Riemann :

\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}} \rightarrow \int_0^1\frac{dt}{1+t}=\ln (2)

Et on obtient alors :

S=\frac{S}{2}+\frac{\ln (2)}{2} \Rightarrow S=\ln (2)

On voit donc encore plus pourquoi il faut prendre ses précautions quand on travaille avec des séries semi-convergentes.

Séries commutativement convergentes

On rappel qu’une permutation de X est une bijection de X sur lui-même.

Une série est dites commutativement convergente, si pour toute permutation des entiers naturels, la série suivante converge :

\sum u_{\sigma (n)}

On peut énoncer un théorème qui est assez dur à démontrer, que je ne vais donc pas démontrer ici, qui est le suivant :

Théorème : Une série est commutativement convergente si et seulement si, elle est absolument convergente.

Cela revient en fait à dire que le terme général est sommable.

Dans ce cas :

\forall{\sigma}\in S(\mathbb{N}),\ \sum_{n=0}^{+\infty}u_n = \sum_{n=0}^{+\infty}u_{\sigma (n)}

où S(E) signifie l’ensemble des permutations de E.

Théorème de réarrangement de Riemann (énoncé)

On va démontrer ce qu’on a observé dans la partie sur le principe du réarrangement.

Prenons une série réelle semi-convergente. Alors,

\forall{a}\in\mathbb{R},\exists\sigma\in S(\mathbb{N})\ |\ \sum u_{\sigma (n)}\ \ \text{converge}\ \ \&\ \ \sum_{n=0}^{+\infty}u_{\sigma (n)}=a

Démonstration du théorème de réarrangement de Riemann (4 étapes)

Cette série là :

\sum u_{\sigma(n)}

je vais l’appeler “La série des bijections” pour alléger un peu ce qui suit.

Partition des entiers naturels

On pose,

N^+ = \{ n\in{\mathbb{N}}\ |\ u_n\geq 0\}\ ;\ N^- = \{ n\in{\mathbb{N}}\ |\ u_n\leq 0\}

Alors d’une part, ces deux ensembles partitionnent l’ensemble des entiers naturels :

\mathbb{N}=N^+\cup N^-,\ N^+\cap N^- = \empty

Et pour assurer que ces deux ensembles sont bien une partition des entiers naturels, l’un des deux doit forcément être infini.

Pour montrer cela, supposons par exemple que N^– est fini. Alors, tous les termes de notre suite sont positifs à partir d’un certain rang (ce rang est le max de N^– ).

Or, en notant n₀ ce max, on a que :

\sum u_n\text{ converge}\Rightarrow \sum_{n\geq{n_0}} u_n\text{ converge}\Rightarrow \sum_{n\geq{n_0}} |u_n|\text{ converge}

Or cette affirmation nous offre la contradiction voulue car la série est supposée semi-convergente.

On montre la même chose pour N⁺ . Finalement :

|N^+|=+\infty,\ |N^-|=+\infty

Divergence du max/min

On a la formule suivante :

\max\{0,u_n\}=\frac{u_n+|u_n|}{2}\ ;\ \min\{0,u_n\}=\frac{u_n-|u_n|}{2}

Si bien que,

\sum \max\{0,u_n\}\ \text{et}\ \sum \min\{0,u_n\}\ \text{divergent}

car la série est semi-convergente.

Construction d’une bijection

On va construire une bijection par récurrence sur n.
Pour cela, il faut se rappeler du schéma que j’ai énoncé précédemment dans la construction du principe.
On pose

\sigma (0)=0

On peut aussi définir ce terme en fonction du signe de “a”, mais ici c’est plus simple de faire comme ça.
Ce qui fait qu’on a alors deux cas, soit la somme est plus grande que a, soit elle est plus petite que a.

C’est-à-dire, qu’on définit les termes suivants par récurrence en suivant le schéma qui a été exposé précédemment. Ce schéma est le plus important dans la démonstration.

\text{Si }\sum_{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}\leq a\ \text{, ajout d'un terme positif : }\sigma(n+1)=\min(N^+\backslash \{\sigma(0),...,\sigma(n)\})

\text{Si }\sum_{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}> a\ \text{, ajout d'un terme négatif : }\sigma(n+1)=\min(N^-\backslash \{\sigma(0),...,\sigma(n)\})

Maintenant, il faut vérifier que c’est bien une bijection.
C’est assez clair que l’application est injective par construction.
Le gros du travail, c’est de montrer que l’application est surjective.
Pour cela, on va raisonner par l’absurde ! Supposons que notre application ne soit pas surjective.
C’est-à-dire que l’on peut trouver un entier naturel qui n’a pas d’antécédent par notre application :

\exists{N}\in\mathbb{N}\ |\ N\notin\sigma(\mathbb{N})

Donc, N est soit dans N^– soit dans N⁺. On va supposer qu’il est dans N^–.

Alors, par définition de notre application,

|N^-\cap\sigma(\mathbb{N})|<+\infty\text{ et donc, }\exists{n_0}\in\mathbb{N}\ |\ \forall{n}\geq n_0, \sigma(n)\in{N^+}

La série des bijections est donc à termes positifs à partir d’un certain rang. Ses sommes partielles sont majorées. Donc, elle converge.
On construit une bijection strictement croissante – ce qu’on appelle une extractrice.

\phi:\mathbb{N}\rightarrow N^+

Comme suit : Le premier terme est le min de la liste des termes positifs et, le n suivant sont les minimums de cette même liste mais sans le n-1 que l’on a déjà pris. Cela revient à faire une sorte de “bijection ordonnée”, d’où la stricte croissance. Autrement dit :

\phi(0)=\min(N^+)\\
n\in\mathbb{N}^*,\ \phi(n)=\min(N^+\backslash\{\phi(k)|k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket\})

Si bien que,

\sum u_{\sigma(n)}\text{ et }\sum u_{\phi(n)}

ont un nombre de termes finis en différence.
De plus, elles sont de même nature de manière évidente, par construction.
Cependant,

\sum_{k=0}^n u_{\phi(n)} > \sum_{k=0}^n\min\{0,u_k\}\rightarrow_{n\rightarrow +\infty} +\infty

Par comparaison,

\sum u_{\phi(n)}\text{ diverge}

Mais la série des bijections converge ! Et on a dit qu’elles étaient de même nature !
C’EST ABSURDE ! (Enfin)
Donc, σ est injective et surjective : elle est bijective

Convergence de notre série des bijections :

C’est la partie la plus dure. (En tout cas pour ma part ça l’a été)
Comme on suppose que la série de base converge, on a que

u_n \to0

Donc, par définition,

\forall{\epsilon}\geq{0}, \exists{n_0}\in{\mathbb{N}}\ |\ \forall{n}\geq{n_0},\ |u_n|<\epsilon

Or, comme

\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}

est bijective, elle est injective et donc :

\exists{n_1}\in\mathbb{N}\ |\ \forall{n}\geq{n_1},\ \sigma(n)\geq n_0

D’où

\exists{n_1}\in\mathbb{N}\ |\ \forall{n}\geq{n_1},\ |u_{\sigma(n)}|<\varepsilon

Donc, arriver à ce rang n₁ , on est forcément au-dessus ou en dessous de la valeur visée : a.
Si bien que, il y a au moins un rang où on va passer d’au dessus de “a” à strictement en dessous de “a”.

\text{C'est-à-dire que : }\exists{N}\geq n_1\ |\ \sigma(N)\in N^+\Rightarrow\sigma(N+1)\in N^-

Autrement dit, en posant la suite des sommes partielles de la série des bijections :

\forall{n}\in\mathbb{N},\ S_n=\sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)}

On a :

S_{N-1}\leq a < S_N

On remarque que, d’après ce qui précède :

|S_N-S_{N-1}|=|u_{\sigma(N)}|<\varepsilon

D’où,

0 < |S_N-S_{N-1}|=|(S_N-a)+(a-S_{N-1})|<\varepsilon\ \Rightarrow\ |S_N-a|<\varepsilon

On y est presque.

Montrons que :

\forall{n}>{N},\ |S_n-a|<\epsilon

Pour cela, montrons que,

\forall{n}>N,\ S_n < a +\epsilon

Raisonnons par l’absurde en supposant que :

\forall{n}>N,\ S_n \geq a +\epsilon

|S_n-S_{n-1}|=|u_{\sigma(n)}|<\epsilon\ \Rightarrow\ S_{n-1}>a\ \Rightarrow\ u_{\sigma(n)}<0 \Rightarrow\ S_{n-1} < S_n

D’où,

a+\epsilon \leq S_n \leq ...\leq S_N

Ce qui est absurde d’après ce qui précède !

Exactement de la même manière, on montre que :

S_n\geq a-\epsilon

Si bien que :

\forall{n}>{N},\ |S_n-a|<\epsilon

Q.E.D !

On a construit la bonne bijection qui fait converger la série vers la valeur voulue. La démonstration du théorème de réarrangement de Riemann s’achève.

Pour aller plus loin…

Pour les plus motivés et les plus à l’aise, on peut s’intéresser au théorème de réarrangement de Steinitz qui “généralise” celui de Riemann dans R^m .