Techniques de démonstration : La contraposée

La contraposée fait partie des techniques de démonstration les plus utilisées. Voyons ensemble ses principes et quelques applications courantes où elle est utilisée.

Qu’est-ce que la démonstration par contraposée ?

La démonstration par contraposée est basée sur le principe suivant : La proposition “A implique B” est équivalente à la proposition “Non B implique non A”. Mathématiquement cela s’écrit :

( A \Rightarrow B) \iff ( \lnot B \Rightarrow  \lnot A)

Pourquoi ce principe ? Car parfois il est plus aisé de montrer “non B implique non A” que de montrer directement “A implique B”.

Le premier exemple de contraposée qu’on apprend en mathématiques est le théorème de Pythagore. En effet, l’énoncé du théorème de Pythagore est le suivant : “si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse – le côté opposé à son angle droit – est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés formant l’angle droit”.

Sa contraposée est alors : “Si le carré du plus long côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle”

Dans la vie quotidienne, un exemple est la contraposée de la proposition suivante “S’il pleut alors j’ai un parapluie” dont la contraposée” est “Si je n’ai pas de parapluie alors il ne pleut pas”.

Exemples de démonstration par contraposée

Exemple 1

On considère un entier n. On veut montrer la proposition suivante : “Si n² est impair, alors n est impair”. Pour cela, on va montrer la contraposée : “Si n est pair, alors n² est pair”.

Démonstration : Il existe k entier tel que n = 2k. En élevant au carré, on obtient :

n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \times(2k^2)

Donc n² est pair. On a bien démontré que “Si n est pair, alors n² est pair” et donc que “Si n² est impair, alors n est impair”.

Exemple 2

Pour montrer la propriété suivante :
Si aⁿ – 1 est premier alors a = 2 et n est premier.
Pour ce faire, on montre alors la contraposée
¬B s’écrit “a ≠ 2 ou n n’est pas premier”
¬A s’écrit “aⁿ – 1 n’est pas premier”

Si la démonstration vous intéresse,