Progresser-en-maths

Maths + Toi = 1

Contraposée
Maths Facts

Techniques de démonstration : La contraposée

La contraposée fait partie des techniques de démonstration les plus utilisées. Voyons ensemble ses principes et quelques applications courantes où elle est utilisée.

Qu’est-ce que la démonstration par contraposée ?

La démonstration par contraposée est basée sur le principe suivant : La proposition « A implique B » est équivalente à la proposition « Non B implique non A ». Mathématiquement cela s’écrit :

( A \Rightarrow B) \iff ( \lnot B \Rightarrow  \lnot A)

Pourquoi ce principe ? Car parfois il est plus aisé de montrer « non B implique non A » que de montrer directement « A implique B ».

Le premier exemple de contraposée qu’on apprend en mathématiques est le théorème de Pythagore. En effet, l’énoncé du théorème de Pythagore est le suivant : « si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse – le côté opposé à son angle droit – est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés formant l’angle droit ».

Sa contraposée est alors : « Si le carré du plus long côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle »

Dans la vie quotidienne, un exemple est la contraposée de la proposition suivante « S’il pleut alors j’ai un parapluie » dont la contraposée » est « Si je n’ai pas de parapluie alors il ne pleut pas ».

Exemples de démonstration par contraposée

Exemple 1

On considère un entier n. On veut montrer la proposition suivante : « Si n2 est impair, alors n est impair ». Pour cela, on va montrer la contraposée : « Si n est pair, alors n2 est pair ».

Démonstration : Il existe k entier tel que n = 2k. En élevant au carré, on obtient :

n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \times(2k^2)

Donc n2 est pair. On a bien démontré que « Si n est pair, alors n2 est pair » et donc que « Si n2 est impair, alors n est impair ».

Exemple 2

Pour montrer la propriété suivante :
Si an – 1 est premier alors a = 2 et n est premier.
Pour ce faire, on montre alors la contraposée
¬B s’écrit « a ≠ 2 ou n n’est pas premier »
¬A s’écrit « an – 1 n’est pas premier »

Si la démonstration vous intéresse,

Laisser un commentaire