La méthode de Héron est une méthode qui permet de partir d’un rectangle pour arriver à un carré tout en gardant la même aire autrement dit en réduisant petit à petit la différence entre la longueur et la largeur de la figure.
Application de la méthode de Héron
On va appliquer la méthode pour approcher une valeur de \sqrt{2} , On commence d’abord par construire un rectangle avec une aire qui vaut 2 dont la longueur vaut 2 et la largeur vaut 1 on fait ensuite la moyenne des deux longueurs, pour obtenir la longueur d’un deuxième rectangle qui vaut \frac{3}{2}, sachant que l’aire de ce rectangle doit toujours être de 2 on déduit que la valeur de la largeur est de \frac{4}{3}. En répétant cette méthode, on obtient un 3ème rectangle dont l’aire vaut toujours deux mais dont la longueur vaut \frac{17}{12} et la largeur vaut \frac{24}{17} .
On se retrouve alors avec une suite de rectangles qui ont pour aire 2 et la forme de ces rectangles va se rapprocher de la forme du carré qui a pour aire 2 et les dimensions de ces rectangles vont se rapprocher de \sqrt{2} .
On peut déjà poser un encadrement de \sqrt{2} , on a \frac{24}{12}\lt\sqrt{2}\lt\frac{17}{12}
De cette application on en déduit une suite : u_{n+1}=\frac{u_n+\frac{2}{u_n}}{2}
u_n=\frac{u_n+\frac{2}{u_n}}{2}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{2}{u_n})
Étude de la fonction
On utilise la fonction associée à la suite : u_{n+1}=f(u_n).
On\; obtient\; donc\; f(x)=\frac{x+\frac{2}{x}}{2}\;\;définie\; sur\; ]0;+\infty[.On\; dérive\; f(x),\;on\; obtient\;f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{x²}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{x²}\right)Étudions le sens de variation de la fonction:
\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{x²}\right)\; \gt\;0\; quand \; x \gt\; \sqrt {2}Établissons le tableau de variation de cette fonction :
Convergence de la suite
Pour étudier la convergence de la suite on va utiliser un outil appris en terminale qui est le théorème de convergence monotone.
Montrons que u_n\gt\sqrt{2}
Nous allons montrer que la suite est minorée par \sqrt{2} par un simple raisonnement par récurrence:
Initialisation : \forall n \in\mathbb{N}, P(n):”u_n\gt\sqrt{2}“.
Pour n=0,u_0=2 , u_0\gt\sqrt{2} donc P(0) est vraie.
Hérédité : Soit n \in\mathbb{N}, supposons que P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie aussi.
Pour l’hérédité, on va utiliser le tableau de variation ci-dessus: Comme f est strictement croissante sur [\sqrt{2}\;;+\infty[ alors u_n\gt\sqrt{2} implique que f(u_n)\gt f(\sqrt{2}) soit u_{n+1}\gt\sqrt{2}.
Conclusion : Comme la proposition est vraie au rang n=0 et elle est héréditaire alors \forall n\in \mathbb{N},\;u_n\gt\sqrt{2}.
Montrons que u_n est décroissante
Pour étudier le sens de variation d’une suite, nous devons trouver son signe en faisant u_{n+1}-u_n.
u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+\frac{2}{u_n}}{2}-u_n\;\lt0 Application du théorème de convergence monotone
On a vue que la suite est minorée \sqrt{2} et est décroissante donc d’après le théorème de convergence monotone la suite converge une limite l qu’on va déterminer.
\begin{array}{ll}
&u_{n+1}=f(u_n)\\
\iff & l=f(l)\\
\iff & l=\frac{1}{2}(l+\frac{2}{l})\\
\iff & 2l=l+\frac{2}{l} \\
\iff & l =\frac{2}{l}\\
\iff & l^2=2\\
\end{array} Ouvertures possibles du sujet
Pour les ouvertures qu’on peut faire à la fin du sujet, on peut parler du lien qu’il y a entre la méthode de Héron avec celle de la méthode de newton. (ATTENTION, si vous voulez en parler il faut vraiment maîtriser ce que vous amenez pour pouvoir répondre aux questions s’il y’en a).
Vous pouvez parler aussi du fait que cette méthode est une méthode qui permet d’approcher des irrationnels à l’aide d’une suite de rationnels et ça, on peut le démontrer par récurrence (ne faites pas cette récurrence, tendez plutôt une perche au jury pour qu’on vous pose la question).
Pour finir, on peut évoquer du hors programme en parlant de la vitesse de convergence de la suite car on ne sait pas quand est-ce qu’on peut poser un encadrement du nombre irrationnel. Par exemple pour l’approche de \sqrt{2}, on a eu un encadrement assez précis en construisant une 3ème figure ce qui signifie qu’elle converge très vite. (ATTENTION, pareil que pour la méthode de Newton si on en parle il faut aussi le maîtriser).
Généralisation
La suite générale est la suivante :
u_n=\frac{u_n+\frac{a}{u_n}}{2}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n}) On peut montrer, par la même méthode, que sa limite est \sqrt{a}
