Cette page a pour but de présenter les relations d’ordre à l’aide d’une partie cours et de quelques exercices corrigés.
Cours
Définition
Une relation ≤ sur un ensemble E est une relation d’ordre sur E si elle vérifie ces trois propriété :
- Réflexivité : Pour tout de x de E, x≤x
- Antisymétrie : Pour tout (x,y) de E, si x≤y et y≤x alors x=y
- Transitivité : Pour tout (x,y,z) de E si xRy et yRz alors xRz
Si pour tout couple, on a x ≤ y ou y ≤ x, on dit que le relation d’ordre est totale.
Exemple détaillé
On définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des entiers naturels par
x \leq y \iff x | y
Elle est bien réflexive. On a bien :
\forall x \in \N , x | x
Donc
x \leq x
De plus, si x|y et y|x, alors
\exists, k,k' \in \N, x= ky , y=k'x
Ce qui fait qu’on en déduit si x est non nul
x = kk'x \iff kk' = 1
Et donc, comme k et k’, sont entiers, on en déduit :
k = k' = 1
D’où x = y.
Si x est nul, alors comme on peut écrire y = kx, nécessairement y est nul.
Donc la relation est bien antisymétrique.
De plus, la relation de transitivité est bien connu pour la divisibilité. Si :
x |y, y|z, \exists k ,k'\in\N, y=kx,z=ky
Et donc,
z = kk'x
D’où
x|z
Finalement, la relation est bien une relation d’ordre.
Exemples
Voici quelques exemples de relation d’ordre
- L’ordre lexicographique qui est l’ordre “du dictionnaire”.
- La relation classique ≤ sur les entiers ou les réels.
- La relation < sur les réels n’est pas une relation d’ordre : on n’a pas x < x.
- La relation d’inclusion pour les ensembles. On note A ⊂ B si A est inclus dans B.
Exercices
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Exercices corrigés
Exercice 1052

La relation est bien réflexive :
x-x = 0 \in \N \Rightarrow x \mathcal{R}x
La relation est antisymétrique : si
x \mathcal{R} y , y \mathcal{R} x
Alors
\exists k,k' \in \N, x-y = k, y-x= k'
On a donc :
k ' = y-x = -(x-y) = -k \in \N
Donc k = k ‘ = 0. D’où x = y.
La relation est transitive. Si
x \mathcal{R} y, y \mathcal{R} z
Alors
\exists k,k' \in \N, x-y = k, y-z= k'
Et donc
x-z = (x-y)+(y-z) = k+k' \in \N
La relation est donc bien transitive. Maintenant, si x = 0, et y = 1/2. Alors
x-y \notin \N, y-x \notin \N
Et donc, la relation d’ordre n’est pas totale car on a trouvé un couple non ordonné.
Exercice 1055

Montrons qu’une condition nécessaire et suffisante est : “f est injective”
Supposons que f n’est pas injective. On peut donc trouver x et y distincts tels que f(x) = f(y). On n’a pas dans ce cas la relation d’antisymétrie. En effet
\begin{array}{lcl} f(x) = f(y)& \Rightarrow& (f(x) \leq f(y) \wedge f(y) \leq f(x)) \\ &\iff& x \mathcal{R}y \wedge y \mathcal{R}x \end{array}
Et comme x et y sont distincts, l’antisymétrie n’est pas vérifiée.
Supposons maintenant que f est injective.
La relation est bien réflexive :
f(x) \leq f(x) \Rightarrow x \mathcal{R}x
Et elle est bien antisymétrique : Si
x \mathcal{R}y \wedge y \mathcal{R}x
Alors
f(x) \leq f(y) \wedge f(y) \leq f(x)
Et donc,
f(x) = f(y)
Puis par injectivité, x=y.
La relation est transitive. Si
x \mathcal{R} y \wedge y \mathcal{R} z
On a alors
f(x) \leq f(y) \wedge f(y) \leq f(z)
D’où
f(x) \leq f(z)
Ainsi,
x \mathcal{R}z
On a donc bien démontré que cette relation est une relation d’ordre si et seulement si f est injective.