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Maths Facts

Qu’est ce que le théorème de la pizza ?

Oui, il y a un théorème qui s’appelle « théorème de la pizza ». Mais que nous dit ce théorème ? A-t-il un rapport avec la pizza ? Découvrons-le dès maintenant ! On reste dans l’alimentaire après l’article sur le théorème du sandwich au jambon !

Introduction au problème

2 amis cherchent à déguster ensemble une bonne pizza. En découpant une pizza en 2n parts en faisant n coups de couteau portés sur des droites concourantes et avec un angle égal entre chaque part (donc de π/n) mais totalement décentré, comment peut-on faire en sorte que ces deux amis mangent la pizza de manière équilibrée ?

Le théorème de la pizza

Voici le théorème (source : Wikipedia)

Soient P un point du disque et n un entier naturel. On choisit arbitrairement une droite passant par P puis on effectue des rotations de π/n radians de cette droite autour de P jusqu’à retrouver la droite initiale. On obtient ainsi un découpage équiangulaire (ce qui veut dire du même angle) du disque en 2n secteurs que l’on numérote en donnant le numéro 1 au secteur qui contient le centre du disque puis en tournant dans le sens positif ou négatif. On note A la somme des aires des parts à numéros impairs et B celle des parts à numéros pairs. Pour ce faire, on suppose que le centre du disque n’est pas sur une ligne de coupe (s’il y est, les aires A et B sont égales).

  • Si n ≥ 4 est pair, alors A = B
  • Si n = 1, n = 2, ou si n est impair et n ≡ 3 [4], alors A > B
  • Si n ≡ 1 [4], alors A < B

Et donc si n = 4 et que les deux personnes prennent une part sur deux, alors elles mangeront pile la même quantité de pizza.
Pour conclure, voici une petit tutoriel proposé par courrier international :

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