Abordé dès la primaire (CM1 généralement), la division est un classique incontournable ! Et savoir poser une division en fait partie.
Connaître les tables de multiplication est un prérequis fondamental pour diviser bien souvent. Mais il existe tout un tas d’astuces pour diviser pour ceux qui n’ont pas appris par cœur 8*7 ou 7*6 que nous allons découvrir !
Cours
Vocabulaire
La division est un opérateur (comme l’addition, la multiplication et la soustraction) servant à partager. Par exemple, elle indique comment découper un gâteau en fonction du nombre d’invités et à l’inverse, à indiquer le nombre maximum d’invités en fonction du nombre de parts de gâteau que nous avons.
Exemple, j’ai 9 invités et 1 gâteau. Il faut donc que je découpe mon gâteau en 9 parts. Dans un autre contexte (grandes fêtes), j’ai commandé 9 gâteau contenant 12 parts. J’obtiens 9*12= 108 parts. Je veux que mes convives puissent se resservir 2 fois. Je peux donc servir 108/2=54 invités.
Voici les diverses manières de présenter une division :
\text{Division sous forme d'ecriture fractionnaire : }\dfrac{a}{b}
\\\text{Division sous forme d'operation : a}\div\text{b}
\\\text{Division posee : }\left.\begin{matrix}
&a & \\
& &
\end{matrix}\right|\dfrac{b}{}L’écriture fractionnaire : sert à écrire des nombres de manière simple (comme 1/3). Le nombre du dessus s’appelle numérateur et celui du dessous est le dénominateur. Elle est principalement utilisée à partir du collège/lycée.
La forme opération : est plus pratique pour les opérations en ligne et ressemble plus aux opérateurs usuels (comme le +). Elle peut être notée également ainsi : a:b (avec “:”). C’est la notation de Leibniz. “a ” est dans ce cas le dividende et “b” le diviseur. Elle s’utilise en sciences pour représenter des rapports de longueurs ou quantités.
La forme posée : permet de calculer le résultat d’une division à l’aide d’un algorithme très simple. On pose à gauche le nombre à diviser (numérateur ou dividende) et à droite souligné le nombre qui divise (dénominateur ou diviseur). Sous le nombre qui divise, on inscrit progressivement le résultat de la division.
Poser une division simple euclidienne (avec reste)
Il existe deux grandes façons de poser une division simplement. Nous allons prendre en exemple 78/6.
Méthode progressive
\left.\begin{matrix}
7&8 & \\
& &
\end{matrix}\right|\dfrac{6}{}Etape 1 : vérifier si le premier chiffre à gauche est plus grand > que le nombre de droite.
Ici 7 > 6 alors on ne va pas plus loin. On compte 1 fois 6 dans 7 (car 6*1 = 6 <7 et 6*2=12 > 7, on ne peut retirer 12 à 7, le nombre retiré doit toujours être inférieur).
Etape 2 : inscrire le nombre de 6 comptés dans le premier chiffre de gauche (ici 1). Placer le signe de la soustraction et écrire 6 (de “1 fois 6 = 6”) sous le premier chiffre de gauche (mis en rouge dans l’exemple suivant). On ajoute autant de 0 à gauche et à droite qu’il y a de chiffres dans le nombre à diviser. On obtient donc que dans 78 il y a au moins 10 fois 6, soit 60.
\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 7}&8 & \\
-& 6& 0&
\end{matrix}\right|\dfrac{{\color{Red} 6}}{10}Etape 3 : soustraire. 78-60 = 18
\underline{\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 7}&8 & \\
-& 6& 0& \\
\end{matrix}\right|}\dfrac{{\color{Red} 6}}{10}\\
\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 1}&8 & \\
\end{matrix}\right|
Etape 4 : on répète le processus de l’étape 1 à 3. Ici 1 < 6, donc on prend les 2 premiers chiffres. 18 > 6, ça marche. Or 6*3 = 18. On inscrit +3 à droite et on soustrait 18 à gauche.
\underline{\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 7}&8 & \\
-& 6& 0& \\
\end{matrix}\right|}\dfrac{{\color{Red} 6}}{10}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 1}&8 & \\
-& 1& 8& \\
\end{matrix}\right|}\text{+3}\\
\left.\begin{matrix}
& & {\color{Red} 0} & \\
\end{matrix}\right|Etape finale : On constate que 18-18 = 0, on ne peut plus rien soustraire. On réalise alors les additions de la colonne de droite pour connaître le résultat de la division. 78/6 = 13. Inversement 13*6 = 78
\underline{\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 7}&8 & \\
-& 6& 0& \\
\end{matrix}\right|}\dfrac{{\color{Red} 6}}{10}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 1}&8 & \\
-& 1& 8& \\
\end{matrix}\right|}\dfrac{+3}{{\color{Red} 13}}\\
\left.\begin{matrix}
& & {\color{Red} 0} & \\
\end{matrix}\right|Méthode rapide
C’est la façon dont est enseignée la division posée au primaire. Elle requiert de bien connaître ses tables et de la rigueur. Notons toutefois qu’elle est le pendant de la méthode vue précédemment. On reprend 78/6
\left.\begin{matrix}
7&8 & \\
& &
\end{matrix}\right|\dfrac{6}{}Etape 1 : vérifier si le premier chiffre à gauche est plus grand > que le nombre de droite.
Ici 7 > 6 alors on ne va pas plus loin. On compte 1 fois 6 dans 7 (car 6*1 = 6 <7 et 6*2=12 > 7, on ne peut retirer 12 à 7, le nombre retiré doit toujours être inférieur). On pose alors -6 sous le 7, on inscrit 1 à droite. 7-6 =1, on inscrit 1 sous le 6.
\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 7}&8 & \\
-& \underline{6}& & \\
\end{matrix}\right|\dfrac{{\color{Red} 6}}{1}\\
\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 1}& & \\
\end{matrix}\right|\frac{}{}Etape 2 : On abaisse les chiffres à côté du 7 restants, à côté du résultat de la soustraction, c’est-à-dire 1.
\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 7}&8 & \\
-& \underline{6}& \blacktriangledown & \\
\end{matrix}\right|\dfrac{{\color{Red} 6}}{1}\\
\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 1}&8 & \\
\end{matrix}\right|\frac{}{}Etape 3 : on répète le processus de l’étape 1 à 2. Ici 1 < 6, donc on prend les 2 premiers chiffres. 18 > 6, ça marche. Or 6*3 = 18. On inscrit 3 à la droite du 1 et on soustrait 18 à gauche.
\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 7}&8 & \\
-& \underline{6}& \blacktriangledown & \\
\end{matrix}\right|\dfrac{{\color{Red} 6}}{13}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 1}&8 & \\
-& 1& 8& \\
\end{matrix}\right|}\dfrac{}{} \dfrac{}{} \dfrac{}{} \dfrac{}{} \\
\left.\begin{matrix}
& & & {\color{Red} 0}& \\
\end{matrix}\right|\dfrac{}{}\dfrac{}{} Poser une division exacte (sans reste)
Une fois que la division simple est acquise, on peut s’attaquer à celle qui ne donnent pas un nombre entier en résultat. C’est la division exacte, qui donne un résultat décimal.
Prenons en exemple 122 / 5.
\left.\begin{matrix}
1& 2& 2 & \\
& \underline{}& & \\
\end{matrix}\right|\dfrac{{\color{Red} 5}}{}1 < 5, donc on prend les 2 premiers chiffres : 12 > 5. On cherche le plus grand nombre de fois 5 dans 12 : 5*2 = 10 mais 5*3=15. On retient 2 qu’on inscrit à droite et on place 10 à gauche sous 12.
\underline{\left.\begin{matrix}
& 1& 2& 2 & \\
-& 1& 0& \blacktriangledown & \\
\end{matrix}\right|}\dfrac{{\color{Red} 5}}{2}\\
\left.\begin{matrix}
& & &{\color{Red} 0} &2&2& \\
\end{matrix}\right|\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}12-10 = 2. On descend les chiffres après 12, c’est 2. On recherche à nouveau combien de 5 il y a au maximum dans 22. La réponse est 4, car 5*4 = 20. On inscrit 4 à côté du 2 à droite et on soustrait 20 à gauche. Il reste 2.
\underline{\left.\begin{matrix}
& 1& 2& 2 & \\
-& 1& 0& \blacktriangledown & \\
\end{matrix}\right|}\dfrac{{\color{Red} 5}}{24}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 0}&2 &2 \\
-& & 2& 0 & \\
\end{matrix}\right|\dfrac{}{}}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\\
\left.\begin{matrix}
& & {\color{Red} 0}& 2 & \\
\end{matrix}\right|Or 2 < 5. On ne peut plus continuer la division a priori. On écrit alors que 122/4 = 24 +2/5. Cela se lit aussi 122/4 “égale 24 reste 2” (attention ce n’est pas 24 +2, mais bien 24+2/5).
Pour éliminer ce reste, il faut imaginer que 122 s’écrit aussi sous forme décimale comme 122,0 ou 122,00000…0. On va pouvoir ainsi, descendre les 0 de la partie décimale pour continuer le calcul. A cette étape, on place la virgule après le 24. La règle est simple, dès que l’on utilise les chiffres après la virgule (partie décimale), on ajoute la virgule au résultat à droite.
\underline{\left.\begin{matrix}
& 1& 2& 2, &0 \\
-& 1& 0& \blacktriangledown & {\color{Red} \blacktriangledown}\\
\end{matrix}\right|}\dfrac{{\color{Red} 5}}{24 {\color{Red},}}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 0}&2 &2 &{\color{Red} \blacktriangledown} \\
-& & 2& 0 &{\color{Red} \blacktriangledown}\\
\end{matrix}\right|\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}
}\\
\left.\begin{matrix}
& & 0& 2 &{\color{Red} 0} \\
\end{matrix}\right|
On recommence à chercher dans 20, combien il y a de 5. On a exactement 4*5 =20. Donc on écrit 4 après la virgule à droite et on soustrait 20 à gauche. Il nous reste 0. Le résultat exact de 122/5 est 24,4.
\underline{\left.\begin{matrix}
& 1& 2& 2, &0 \\
-& 1& 0& \blacktriangledown & {\color{Red} \blacktriangledown}\\
\end{matrix}\right|}\dfrac{{\color{Red} 5}}{24,4}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
& {\color{Red} 0}&2 &2 &{\color{Red} \blacktriangledown} \\
-& & 2& 0 &{\color{Red} \blacktriangledown}\\
\end{matrix}\right|}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
& & 0& 2 &{\color{Red} 0} \\
& & -& 2 &{\color{Red} 0} \\
\end{matrix}\right|}\\
\left.\begin{matrix}
&& & & & &{\color{Red} 0} \\
\end{matrix}\right|\dfrac{}{}\dfrac{}{}
Propriétés et astuces
A connaître par cœur
\dfrac{a}{1}=aLe résultat d’une division par 1 (dénominateur =1) est le numérateur (la partie du dessus). Exemples 120/1 = 120, 1/1 = 1, 10/1 = 10, 985689/1 = 985689
\dfrac{0}{b}=0Rien divisé par quelque chose (différent de 0) égale rien.
Exemples 0/100 = 0, 0/1 = 0, 0/9875268 = 0
Diviser par 0 est “interdit”. On ne peut pas diviser par rien.
Quand on ne connaît pas les tables
Il suffit de les réécrire. Voire mieux, il est parfois difficile de connaître la table de 14 ou de 32 ! Le mieux à faire est de s’écrire en colonne une table en faisant des additions pour s’aider progressivement.
\left.\begin{matrix}
Table\\
{\color{Blue} 32\times 1=32
}\\
{\color{Blue} 32\times 2=64
}\\ {\color{Blue} 32\times 3=96
}
\\ {\color{Blue} 32\times 4=128
}
\\ {\color{Blue} 32\times 5=160
}
\\ {\color{Blue} 32\times 6=192
}\\ ...
\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}
Additions\\
32+32 =64
\\ 64+32 = 96
\\ 96+32 = 128
\\ 128+32 = 160
\\ 160+32 = 192
\\ ...
\\ ...
\end{matrix}\right|
Exemple d’entraînement : 196/32
\underline{\left.\begin{matrix}
& 1& 9& 6, &0 &0 &0\\
-& 1& 9& 2 & {\color{Red} \blacktriangledown} & {\color{DarkBlue} \blacktriangledown} & {\color{Pink} \blacktriangledown}\\
\end{matrix}\right|}\dfrac{{\color{Red} 32}}{6 {\color{Red} ,} 125}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
& 0& 0&4 &{\color{Red} 0} & {\color{DarkBlue} \blacktriangledown} & {\color{Pink} \blacktriangledown}\\
-& & & 3 &2 & {\color{DarkBlue} \blacktriangledown}& {\color{Pink} \blacktriangledown}\\
\end{matrix}\right|}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
& & & 0 &8 &{\color{DarkBlue} 0}& {\color{Pink} \blacktriangledown}\\
& & & - &6 &4 & {\color{Pink} \blacktriangledown}\\
\end{matrix}\right|}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\\
\underline{\left.\begin{matrix}
&& & & & 1 &6 & {\color{Pink} 0}\\
&& & & -& 1 &6 & {\color{Pink} 0}\\
\end{matrix}\right|}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\\
\left.\begin{matrix}
&&&& & & & & & {\color{Pink} 0}\\
\end{matrix}\right|\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}
Repères mentaux en division
- 1/10 = 0,1
- 1/100 = 0,01
- 1/1000 = 0,001 …
- 10/5 = 2
- 100/5 = 20
- 1000/5 = 200
- 1/5 = 0,2
- 1/50 = 0,02 …
- 1/2 = 0,5
- 1/20 = 0,05
- 10/2 = 5
- 100/2 = 50 …
- 0,5/2 = 0,25
- 1/3 = 0,33333…
- 1/4 = 0,25 = (1/2)/2 = 0,5/2
- 1/6 = 0,16666… = (1/3)/2 = 0,33333…/2
- 1/8 = 0,125 = (1/4)/2 = ((1/2)/2)/2
- 1/9 = 0,1111111…. = ((1/3)/2)/2
Exercices
Faciles
Tous les exercices “faciles” sont accessibles en primaire. Vérifier avec une calculatrice.
Division simples, sans reste
| 153/3 | 392/8 | 78/2 |
| 96/6 | 2048/32 | 4096/8 |
| 10000/2 | 10000/5 | 20020/4 |
Division avec reste
| 104/5 | 78/12 | 189/12 |
| 1208/8 | 512/40 | 4987/5 |
| 1/10000 | 2/10000 | 1/40 |
Moyens
L’exercice suivant n’est pas au niveau primaire. Conseil : la partie décimale n’est pas finie. C’est-à-dire que les chiffres après la virgule ne s’arrêtent pas. Il faut essayer de trouver le schéma de répétition des décimales. Vérifier avec une calculatrice.
| * | 8/12 | 12/9 | 60/90 |
| ** | 125/55 | 78/66 | 99/333 |
| *** | 485/72 | 4096/2222 | 111/555555 |
Problèmes concrets : accessibles en primaire.
* Laurent est agriculteur, il a 72 vaches dans sa ferme. Il a également 3 prés. Il souhaite séparer équitablement son troupeau dans ses 3 prés. Combien de vaches y aura-t-il dans chaque pré ?
* Marianne organise une fête à la ferme. Elle commande à son traiteur 10 gâteaux contenant 9 parts chacun. Combien de parts totales aura-t-elle ? Elle pense que chaque invité prendra 2 parts. Combien de personnes peut-elle inviter ?
** Romain a vendu 140 jus d’orange cette semaine. Il a gagné 301€. Combien coûte en euros, 1 bouteille de jus d’oranges ?
*** Nancy a fabriqué 4050 macarons. Elle doit désormais les ranger dans des paquets pouvant en contenir 8. Combien de sachets peut-elle remplir ? Combien de macarons restera-t-il à Nancy si elle ne peut pas remplir le dernier sachet ?
