Polynômes du troisième degré : Cours et exercices corrigés

Voici un cours avec des exercices corrigés sur les polynômes du troisième degré
Fonction cube

Dans cet article, nous allons vous présenter les polynômes du troisième degré avec leur résolution en terminale.

Prérequis

Il est nécessaire de savoir résoudre les équations du second degré

Cours 

Une fonction polynôme du troisième degré est une fonction qui peut s’écrire sous la forme f(x) = ax^3+bx^2+cx+d avec a \neq 0 et b,c et d trois réels.

Par exemple, f(x) = 5x^3 +4x^2+3x +1 est un polynôme de degré 3. La fonction g définie par g(x) = x^3 +1 est aussi un polynôme de degré 3.

Si b=c=d=0, on se retrouve avec la fonction cube à un facteur près.

Méthode et Exercice corrigé : Recherche des racines en terminale

Méthode de résolution

Voici la méthode de résolution des polynômes du troisième degré recommandée en terminale. Ne vous inquiétez pas, un exemple va suivre :

  • On dispose donc d’un polynôme de degré 3 : f(x) = ax^3 + bx^2 +cx+d
  • On cherche une racine évidente \alpha, on teste par exemple les valeurs 1, -1, 2, -2
  • On cherche ensuite k et l tels que ax^3 + bx^2 +cx+d = a(x-\alpha)( x^2 + kx + l)
  • On cherche ensuite les racines de x^2 + kx + l en utilisant la méthode de résolution classique d’un polynôme du second degré.

La méthode de résolution plus générale s’appelle la méthode de Cardan.

Exercice corrigé

Prenons la fonction polynôme définie par f(x)= x^3 +x^2 -x - 1

  • f(1) = 0 : 1 est une racine évidente
  • On va donc chercher b et c tels que f(x) =(x-1)(x^2 +ax+b). Pour cela, on développe : x^3 -x^2+ax^2 -ax+bx-b= x^3 +(a-1)x^2 + (b-a) x -b. Et on identifie avec trois équations par égalité des coefficients de chaque degré :
\left\{ 
\begin{array}{ll}
a-1 = 1\\
b-a = -1  \\
-b = -1
\end{array}
\right.
\iff 
\left\{ 
\begin{array}{ll}
a = 2\\
b = 1
\end{array}
\right.

On se retouve donc avec f(x) =(x-1)(x^2 +2x+1). Ici, on voit qu’on a une identité remarquable et on se retrouve donc avec :

f(x) = (x-1)(x+1)^2 
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