Dans cet article, nous allons voir les différents types d’asymptotes et branches infinies et les astuces pour les calculer.
Asymptotes horizontales
Pour cette partie là, on se place en \pm \infty . On suppose que \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = a .
Dans ce cas, la droite horizontale d’équation y = a est une asymptote horizontale.
Exemple : Prenons la fonction f définie sur \R par f(x) = 1 - e^{-x} . On a \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = 1 . Donc la droite d’équation y = a est une asymptote horizontale.
Asymptotes verticales
Pour cette partie là, on se place en un point a \in \R . On suppose que \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \pm \infty .
Dans ce cas, la droite verticale d’équation x = a est une asymptote verticale. Attention : il s’agit bien de x et non pas de y, ce n’est pas habituel donc ne vous faites pas avoir.
Exemple : Prenons la fonction f définie sur \R par f(x) = \dfrac{1}{x}. On a \displaystyle \lim_{x \to 0, x < 0 } f(x) = -\infty et \displaystyle \lim_{x \to 0, x > 0 } f(x) = +\infty . Donc la droite d’équation x = 0 est une asymptote horizontale.
Asymptotes obliques et branches paraboliques
On se place à nouveau en \pm \infty . On suppose que \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty . Regardons la limite de \dfrac{f(x)}{x}
Branches paraboliques
On a 2 premiers cas possibles :
- \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \pm \infty . Dans ce cas on parle d’une branche parabolique dirigée vers l’axe des ordonnées.
- \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0. Dans cet autre cas on parle d’une branche parabolique dirigée vers l’axe des abscisses.
Asymptotes obliques
Il reste un autre cas où la limite existe : \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = a \in \R . A partir de là, on a 2 sous-cas :
- Si \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)-ax n’est pas définie ou infinie on parle d’asymptote oblique de coefficient directeur a
- Si Si \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)-ax = b \in \R , alors la droite d’équation y = ax +b est une asymptote oblique de f
Exemple : Prenons f définie par \forall x \neq 1, f(x) = \dfrac{x^2+1}{x+1}. On a \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2+1}{x^2+x} = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}} = 1 .
On considère ensuite f(x) - x = \dfrac{x^2+1}{x+1} - x =\dfrac{x^2+1-x(x+1)}{x+1} = \dfrac{1-x}{x+1} \equiv \dfrac{-x}{x} = -1 . La droite y = x-1 est asymptote oblique de cette fonction. Remarquons aussi qu’on a une asymptote verticale en x= -1
Quelques points de méthode
De manière générale, on va :
- D’abord chercher les points où la fonction n’est pas définie pour voir si on peut obtenir d’éventuelles asymptotes verticales
- On va ensuite étudier les limites en \pm \infty :
- Si la limite est finie alors on a une asymptote verticale
- Si la limite est infinie, on va alors étudier \dfrac{f(x)}{x}
- Si la limite est infinie alors on a une asymptote parabolique dirigée vers l’axe des ordonnées
- Si la limite est nulle alors on a une asymptote parabolique dirigée vers l’axe des abscisses
- Si la limite est finie non nulle a alors on a une asymptote oblique dirigée vers l’axe des ordonnées. On va ensuite considérer f(x) - ax . Pour cette étape, il peut être intéressant d’utiliser les équivalents.
- On peut bien évidemment ne pas avoir de limite
Une fonction peut ne pas avoir d’asymptote.
