Loi du χ² : Cours

La loi du χ² est une des loi de probabilité beaucoup utilisée en statistique, avec notamment le test du χ². On prononce “khi-deux”, ou plus rarement, “khi-carré”

Prérequis

• La loi normale
• La fonction Gamma

Définition

Soit k variables aléatoires indépendantes notées X₁, …, X_k qui suivent une loi normale centrée et réduite. Alors on pose

X = \sum_{i=1}^k X_i^2 

La loi du χ² de paramètre k est notée χ²(k) ou χ_k². Son univers Ω est l’ensemble des réels positifs.

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi du χ² est

f(x,k) = \dfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} 

où Γ est la fonction Gamma.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi du χ² est

F(x,k) = \dfrac{\gamma\left( \frac{k}{2};\frac{x}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}

où

\gamma (a,x) = \int_0^x t^{a-1}e^{-t}dt

qui est ce qu’on appelle la fonction gamma incomplète.

Propriétés

Espérance de la loi du χ²

L’espérance de la loi du χ² de paramètre k vaut k. En voici la démonstration, en passant par la loi normale.

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) &=\displaystyle\mathbb{E}\left( \sum_{i=1}^k X_i^2 \right)\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^k \mathbb{E}(  X_i^2 )\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^k1 \\
&=  k
\end{array}

Ce qui est bien le résultat recherché.

Variance de la loi du χ²

La variance de la loi du χ²de paramètre k vaut 2k. Là aussi, on va faire un calcul à partir de la loi normale. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) &=\displaystyle \mathbb{E}\left[\left( \sum_{i=1}^k X_i^2\right)^2\right]
\end{array}

Or, les X_i sont indépendants dont on peut écrire :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) &=\displaystyle \sum_{i=1}^k \mathbb{E}\left[  (X_i^2)^2\right]\\
&= \displaystyle \sum_{i=1}^k \mathbb{E}\left[  X_i^4\right]\\
&= \displaystyle \sum_{i=1}^k 3\\
&=  3k\\
\end{array}

Pour calculer le moment d’ordre 4, on fait une intégration par parties et on arrive facilement au résultat. On conclut ensuite sur la variance via :

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) & = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\\
& =3k-k \\
& = 2k
\end{array}

Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !