La loi du χ² est une des loi de probabilité beaucoup utilisée en statistique, avec notamment le test du χ². On prononce “khi-deux”, ou plus rarement, “khi-carré”
Prérequis
- La loi normale
- La fonction Gamma
Définition
Soit k variables aléatoires indépendantes notées X1, …, Xk qui suivent une loi normale centrée et réduite. Alors on pose
X = \sum_{i=1}^k X_i^2
La loi du χ² de paramètre k est notée χ²(k) ou χk². Son univers Ω est l’ensemble des réels positifs.
Densité de probabilité
La densité de probabilité de la loi du χ² est
f(x,k) = \dfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}
où Γ est la fonction Gamma.
Fonction de répartition
La fonction de répartition de la loi du χ² est
F(x,k) = \dfrac{\gamma\left( \frac{k}{2};\frac{x}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}
où
\gamma (a,x) = \int_0^x t^{a-1}e^{-t}dt
qui est ce qu’on appelle la fonction gamma incomplète.
Propriétés
Espérance de la loi du χ²
L’espérance de la loi du χ² de paramètre k vaut k. En voici la démonstration, en passant par la loi normale.
\begin{array}{ll} \mathbb{E} (X) &=\displaystyle\mathbb{E}\left( \sum_{i=1}^k X_i^2 \right)\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^k \mathbb{E}( X_i^2 )\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^k1 \\ &= k \end{array}
Ce qui est bien le résultat recherché.
Variance de la loi du χ²
La variance de la loi du χ²de paramètre k vaut 2k. Là aussi, on va faire un calcul à partir de la loi normale. On a :
\begin{array}{ll} \mathbb{E}(X^2) &=\displaystyle \mathbb{E}\left[\left( \sum_{i=1}^k X_i^2\right)^2\right] \end{array}
Or, les Xi sont indépendants dont on peut écrire :
\begin{array}{ll} \mathbb{E}(X^2) &=\displaystyle \sum_{i=1}^k \mathbb{E}\left[ (X_i^2)^2\right]\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^k \mathbb{E}\left[ X_i^4\right]\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^k 3\\ &= 3k\\ \end{array}
Pour calculer le moment d’ordre 4, on fait une intégration par parties et on arrive facilement au résultat. On conclut ensuite sur la variance via :
\begin{array}{ll} \mathbb{V}(X) & = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\\ & =3k-k \\ & = 2k \end{array}
Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !