La loi de Pascal est une loi de probabilité plutôt niche. Ce n’est pas du tout parmi les plus utilisées. Mais sur progresser-en-maths, on essaie de traiter chaque mois une nouvelle loi de probabilité, alors voici celle du mois de février 2023.
Définition
Soit r \geq 1 et p \in ]0;1[ . On note \mathcal{P}(r,p) la loi de Pascal de paramètres r et p ayant pour univers \{n \geq r, n \in \N \} et vérifiant
\forall k \geq r, \mathbb{P} (X= k ) = \binom{k-1}{r-1}p^r (1-p)^{k-r}Concrètement, cette loi correspond à la probabilité pour avoir r succès d’un évènement qui a une probabilité p.
Propriétés
Espérance de la loi de Pascal
Son espérance vaut
\mathbb{E}(X) = \dfrac{r}{p}Exercice : Démontrer la valeur de l’espérance, on pourra utiliser la formule du binôme négatif, relatif aux développements en série entière :
\dfrac{1}{(1-x)^{r+1}} = \sum_{k=r}^{+\infty} \binom{k}{r} x^{k-r}Variance de la loi de Pascal
La loi de Pascal a pour variance
V(X) = \dfrac{r(1-p)}{p^2}Si vous avez su faire le calcul de l’espérance, vous arriverez à mener celui de la variance !
Exercice
Deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivent deux lois de Pascal de paramètres respectifs (n, p) et (m, p). Déterminer la loi de X + Y
