La loi de Gompertz est une loi de probabilité continue qui a été formulée par Benjamin Gompertz en 1825. Elle est largement utilisée en démographie et en actuariat, en particulier pour modéliser la mortalité humaine et l’évolution des maladies.
Formule de la densité de probabilité
Voici la formule de la densité de probabilité de cette loi
f(x; \eta, b) = b \eta e^{\eta} e^{b x} e^{-\eta e^{b x}}où \eta > 0 et b > 0 sont les paramètres de la distribution.
Propriétés
L’espérance et la variance de la loi de Gompertz sont un peu plus délicates à calculer et nécessitent des fonctions spéciales.
Espérance
La formule de l’espérance est
\mathbb{E}[X] = \frac{1}{b} (\ln(\eta) -\psi(1) )où \psi est la fonction digamma avec \digamma (1) = -\gamma = - 0.577...
Variance
La formule de la variance de la loi de Gompertz est :
Var[X] = \dfrac{1}{b^2} \psi^{(1)}(1) où \phi^{(1)} est la fonction trigamma avec \psi^{(1)} (1) \approx 1,645
Applications de la loi de Gompertz
L’utilisation la plus courante de la loi de Gompert est pour modéliser la mortalité humaine, et plus généralement la mortalité des animaux. Les actuaires l’utilisent pour estimer les primes d’assurance-vie et de santé. Les biologistes l’utilisent pour modéliser la croissance des cellules et des populations. On utilise la loi de Gompertz dans le domaine du marketing pour modéliser la croissance de l’adoption de nouveaux produits et technologies.
En résumé, la loi de Gompertz est une distribution de probabilité puissante avec de nombreuses applications pratiques. Son utilisation nous aide à comprendre et à prévoir des phénomènes variés, de la mortalité humaine à l’adoption de nouvelles technologies.
