Cet article a pour but de présenter les suites extraites à travers leur définition, des exemples et des exercices corrigés. Utiliser les suites extraites peut s’avérer utile dans certaines démonstrations
Définition
Extractrice
Une extractrice est une application \varphi : \N \to \N strictement croissante.
Exemples :
- \varphi (n) = 2n
- \varphi (n) = n^2
- \varphi (n) = n!
Contres-exemples :
- \varphi (n) = e^n n’est pas une extractrice car elle n’est pas à valeur dans les entiers.
- \varphi (n) = \left\lfloor \dfrac{n}{2}\right\rfloor n’est pas une extractrice car elle n’est pas strictement croissante
Suite extraite
Soit (u_n) une suite et \varphi une extractrice. La suite (u_{\varphi(n)}) est appelée suite extraite de (u_n).
Passons maintenant à des exercices d’application pour comprendre l’intérêt de cette notion !
Exercices corrigés
Exercice 1164
Notons \psi une extractrice de (u_{\varphi(n)})_{n \in \N}
Elle se note alors (u_{\psi(\varphi(n))})_{n \in \N}. Et donc, \psi \circ \varphi est bien une extractrice. Ce qui fait que (u_{\psi \circ \varphi(n)})_{n \in \N} est une suite extraite de (u_{n})_{n \in \N}.
Exercice 1165
Montrons d’abord que ces 3 suites extraites ont même limite.
En effet (u_{6n}) = (u_{2 \times 3 n }) = (u_{3 \times 2n}) est une suite extraite de (u_{3n}) et de (u_{2n}) donc ces deux suites ont même limite.
De plus, (u_{6n+3}) = (u_{3 \times (2n+1)}) est une suite extraite de (u_{3n}) et de (u_{2n°1}) donc ces deux suites ont même limite.
Ainsi, les trois suites extraites ont même limite. Maintenant, comme tout entier est de la forme 2n ou 2n+1, les termes pairs et impairs convergent vers la même limite. Donc la suite converge vers cette limite commune. Si on veut le faire plus rigoureusement : Soit \varepsilon > 0
\begin{array}{ll}
\exists n_1 \in \N, \forall n \geq n_1, |u_{2n} - l| \leq \varepsilon\\
\exists n_2 \in \N, \forall n \geq n_2, |u_{2n+1} - l| \leq \varepsilon\\
\end{array}On pose alors n_0 = \max(2n_1,2n_2+1). Et on a enfin :
\forall n \geq n_0, |u_{n} - l| \leq \varepsilon
Ce qui nous donne bien la convergence recherchée.
Exercice 1166
Soit l la limite de la suite extraite. Comme la suite extraite est convergente
\exists n_0 \in \N,\forall n \geq n_0, |u_{\varphi(n)}-l| \leq \varepsilonOn a alors, par croissante de la suite :
\exists n_0 \in \N,\forall n \geq \varphi(n_0), u_{\varphi(n_0)}\leq u_{n} \leq lAinsi,
\exists n_0 \in \N,\forall n \geq \varphi(n_0), |u_{n} -l|\leq \varepsilonDonc la suite converge aussi vers l.
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