Les suites extraites : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur les suites extraites : Définition, propriété, exemples et exercices
Suite

Cet article a pour but de présenter les suites extraites à travers leur définition, des exemples et des exercices corrigés. Utiliser les suites extraites peut s’avérer utile dans certaines démonstrations

Définition

Extractrice

Une extractrice est une application \varphi : \N \to \N strictement croissante.

Exemples :

  • \varphi (n) = 2n
  • \varphi (n) = n^2
  • \varphi (n) = n!

Contres-exemples :

  • \varphi (n) = e^n n’est pas une extractrice car elle n’est pas à valeur dans les entiers.
  • \varphi (n) = \left\lfloor \dfrac{n}{2}\right\rfloor n’est pas une extractrice car elle n’est pas strictement croissante

Suite extraite

Soit (u_n) une suite et \varphi une extractrice. La suite (u_{\varphi(n)}) est appelée suite extraite de (u_n).

Passons maintenant à des exercices d’application pour comprendre l’intérêt de cette notion !

Exercices corrigés

Exercice 1164

Suite extraite de suite extraite

Notons \psi une extractrice de (u_{\varphi(n)})_{n \in \N}

Elle se note alors (u_{\psi(\varphi(n))})_{n \in \N}. Et donc, \psi \circ \varphi est bien une extractrice. Ce qui fait que (u_{\psi \circ \varphi(n)})_{n \in \N} est une suite extraite de (u_{n})_{n \in \N}.

Exercice 1165

Convergence à partir de suite extraite

Montrons d’abord que ces 3 suites extraites ont même limite.

En effet (u_{6n}) = (u_{2 \times 3 n }) = (u_{3 \times 2n}) est une suite extraite de (u_{3n}) et de (u_{2n}) donc ces deux suites ont même limite.

De plus, (u_{6n+3}) = (u_{3 \times (2n+1)}) est une suite extraite de (u_{3n}) et de (u_{2n°1}) donc ces deux suites ont même limite.

Ainsi, les trois suites extraites ont même limite. Maintenant, comme tout entier est de la forme 2n ou 2n+1, les termes pairs et impairs convergent vers la même limite. Donc la suite converge vers cette limite commune. Si on veut le faire plus rigoureusement : Soit \varepsilon > 0

\begin{array}{ll}
\exists n_1 \in \N, \forall n \geq n_1, |u_{2n} - l| \leq \varepsilon\\
\exists n_2 \in \N, \forall n \geq n_2, |u_{2n+1} - l| \leq \varepsilon\\
\end{array}

On pose alors n_0 = \max(2n_1,2n_2+1). Et on a enfin :

\forall n \geq n_0, |u_{n} - l| \leq \varepsilon

Ce qui nous donne bien la convergence recherchée.

Exercice 1166

Suite croissante et extraite convergente

Soit l la limite de la suite extraite. Comme la suite extraite est convergente

\exists n_0 \in \N,\forall n \geq n_0, |u_{\varphi(n)}-l| \leq \varepsilon

On a alors, par croissante de la suite :

\exists n_0 \in \N,\forall n \geq \varphi(n_0),  u_{\varphi(n_0)}\leq u_{n}  \leq l

Ainsi,

\exists n_0 \in \N,\forall n \geq \varphi(n_0),  |u_{n}  -l|\leq \varepsilon

Donc la suite converge aussi vers l.

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