Dans cet article, nous allons vous présenter la notion quantificateurs. C’est une notion essentielle en mathématiques qu’il est nécessaire de maîtriser pour être capable d’être rigoureux.
Le quantificateur universel
Définition
Le quantificateur universel “pour tout” est noté \forall . Il permet d’établir des propriétés vraies pour tout objet du domaine décrit. En français, on peut dire “quelque soit” ou “pour tout”.
Exemples
Voici quelques exemples d’utilisation de ce quantificateur :
- \forall x \in \mathbb{N}, \forall y \in \mathbb{N}, x+y \in \mathbb{N} : Quelque soit x et y entiers, x+y est un entier
- \forall x \in \R, \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)
- \forall n \in \mathbb{N}, (n+4) \in \mathbb{N}
- \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \geq 0, (1+x)^n \geq 1+nx : c’est l’inégalité de Bernoulli.
Le quantificateur existentiel
Définition
Le quantificateur existentiel “il existe” noté \exists signifie “Il existe au moins”. Par exemple, \exists x \in E, P(x) signifie qu’il existe au moins un x vérifiant la propriété P(x).
‘Il existe un unique” (on peut l’appeler quantificateur d’unicité) est un quantificateur dérivée du premier, on le note \exists ! . Par exemple, \exists ! x \in E, P(x) signifie qu’il existe un et un seul x vérifiant la propriété P(x).
Exemples
Voici quelques exemples utilisant il existe :
- \exists n \in \mathbb{N}, n^2 = 9
- \exists m,n \in \mathbb{N}, m+n \leq 5 : Il existe m et n deux entiers tels que leur somme soit inférieure ou égale à 5.
On peut utiliser des exemples utilisant les deux quantificateurs :
- \forall x \geq 0, \exists y \in \R, y^2 = x
- \forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \forall x_0 \in I, \exists \delta >0 , (|x-x_0| \leq \delta ) \Longrightarrow (|f(x) - f(x_0)|\leq \varepsilon) : pour les plus aguerris d’entre vous, vous aurez reconnu la définition de la continuité.
Négation
La négation de \forall x \in E, P(x) est \exists x \in E, \lnot P(x) .
La négation de \exists x \in E, P(x) est \forall x \in E, \lnot P(x)
Exemple : La négation de \forall x \geq 0, \exists y \in \R, y^2 = x est \exists x \geq 0, \forall y \in \R, y^2 \neq x .
Cela a du sens en français. La négation de “le ciel est bleu” (sous-entendu “pour tout endroit dans le ciel, celui-ci est bleu”) n’est pas “le ciel n’est pas bleu” mais plutôt “il existe un endroit où le ciel n’est pas bleu”.
