Les ensembles : Cours et exercices

Les ensembles sont le tapis de fond de toutes mathématiques du supérieur. On peut se contenter de voir un ensemble comme étant une collection d’élément(s), ignorant les doublons, sans ordre. La définition précise des ensembles arrive tard dans l’apprentissage des mathématiques.

Connaissance de base sur les ensembles

Il est possible de donner un nom aux ensembles. Pour déterminer un ensemble, une première méthode et de décrire leur contenu à l’aide d’accolade “{ }” suivi d’une description ou énumérations des éléments de cette ensemble séparé de virgule “,” comme :

On note x \in X , pour dire que x est un élément de l’ensemble X . On dit aussi que x appartient à l’ensemble X .

Aussi, on peut définir un ensemble à l’aide de conditions que doivent vérifier les éléments. Les éléments sont placés devant une barre “|” se lisant “tel que”, les conditions sont placé après la barre.

• F = \{ x | x \in E et x est impair \}
• ou F = \{ x \in E | x est impair \} pour faciliter l’usage
• donc F = \{ 1, 3 \}

Ainsi \forall x, (x \in F \Leftrightarrow x = 1 ou x = 3 ) et ( x \in E \Leftrightarrow x \in F ou x = 2 ).

Un singleton est un ensemble d’un seul élément; une paire est un ensemble de deux éléments.

Exemples principaux

• L’ensemble vide, \emptyset = \{\} , aucun élément
• Le singleton de l’ensemble vide, \{ \emptyset \} , un seul élément \emptyset , c’est un singleton donc différent de l’exemple précédant
• \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, ... \} ensemble des entiers positifs
• \mathbb{N}^* = \{ 1, 2, 3, 4, ... \} ensemble des entiers positifs non nul
• \mathbb{Z} = \{ 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... \} ensemble des entiers relatifs
• \mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q}| p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^* \} ensemble des rationnels
• L’ensemble des réels, \mathbb{R} , et l’ensemble des complexes, \mathbb{C}
• L’ensemble des suites réels, \mathbb{R}^\mathbb{N}

Les sous-ensembles et comparaisons

Pour deux ensembles X,Y , Y est inclus dans X , noté Y \subset X , lorsque tous les éléments de Y sont des éléments de X . Noté par quantificateur, ceci donne:

 Y \subset X \Leftrightarrow (\forall x, x \in Y \Rightarrow x \in X )

Deux ensembles ne peuvent pas forcément être comparés, on dit que l’inclusion n’est pas un ordre total

Lorsque X \subset Y et Y \subset X,on a X = Y , sinon on note X \ne Y .

Exemples

• Pour tout ensemble X, on a \emptyset \subset X et X \subset X
• \mathbb{N}^* \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
• Pour X un ensemble, \mathcal{P}(X) = \{ A | A \subset X \} est l’ensemble dont les éléments sont les sous-ensembles de X
• \mathcal{P}(F) = \{ \emptyset,\{1\}, \{3\}, F \}

L’ensemble de tous les ensembles est à éviter, pour construire vos ensembles, assurez vous que les éléments de la collection et propriétés à vérifier sont eux-mêmes bien définis préalablement.

Une erreur courante est de confondre les symboles \subset et \in , ce qui peut causer de nombreux dégâts aux professeurs et par conséquent vos notes.

Couple

Un couple est une paire ordonné défini par :

Exercices

1. Pour E = \{ 3, 14, 15, 92 \} , décrire \mathcal{P}(E) en listant tout ses éléments.
2. Ecrire l’ensemble T dont les éléments sont les sous-ensembles inclus dans E = \{ 3, 14, 15, 92 \} à 3 éléments.
3. Que peut-on dire parmi, T \subset \mathcal{P}(E) , T \in \mathcal{P}(E) , T \subset E , T \in E , \emptyset \subset T , \emptyset \in T ?
4. Contrairement aux paires, montrer que (a,b) = (x,y) \Leftrightarrow a = x et b = y .
5. En déduire à quelle condition (a,b) = (b,a) , dans ce cas réduire (a,b) .
6. A quelle condition un couple est-il une paire?
7. Décrire \mathcal{P}((a,b)), pour a et b quelconque.
8. Réduire \mathcal{P}((a,a)), est-ce que \{ a \} \in \mathcal{P}((a,a)) ou \{ a \} \subset \mathcal{P}((a,a))?
9. Comment définiriez-vous les 3-uplets (a,b,c), pour généraliser des couples à 3 éléments ?