Le théorème de la base incomplète est un théorème nécessaire à connaitre lorsqu’on commence à travailler avec des espaces vectoriels de dimension finie. Dans cet article, nous allons l’énoncer et en faire sa démonstration
Prérequis
Enoncé du théorème de la base incomplète
E désigne un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie. Soit \mathcal{F}= (u_1, \ldots, u_k) une famille libre et \mathcal{G} = (v_1, \ldots, v_p) une famille génératrice.
Le théorème de la base incomplète nous dit qu’on peut compléter la famille \mathcal{F} avec certains éléments v_{i_0}, \ldots, v_{i_l} pour en faire une base \mathcal{B} = \mathcal{F} \cup (v_{i_0}, \ldots, v_{i_l})
Attention : Pour que le théorème soit valable, il suffit que la seconde famille soit génératrice. Il n’est pas nécessaire que ce soit une base comme on peut parfois l’entendre.
Démonstration du théorème de la base incomplète
L’algorithme suivant permet de compléter la base :
- A-t-on v_1 \in \text{vect}(\mathcal{F}) ?
- Si oui, \mathcal{F} n’est pas modifié,
- Si non, on pose \mathcal{F}' = \mathcal{F} \cup v_1. Cette nouvelle famille est libre par les propriétés qu’on a vu dans l’article sur les familles libres
- On recommence pour tous les autres vecteurs de \mathcal{G}. On obtient à la fin une famille libre notée \mathcal{F}_n
De plus, on a v_1, \ldots, v_n \in \text{vect} (\mathcal {F}_n). Donc E = \text{vect}(v_1,\ldots,v_n) \subset \text{vect} (\mathcal{F}_n) .
Ainsi, la famille \mathcal{F}_n est libre et génératrice pour E. C’est donc une base de E, ce qui conclut notre démonstration
