Le théorème de Gauss fait partie des essentiels en arithmétique. C’est pourquoi nous allons l’énoncer, en faire la démonstration et corriger quelques exercices pour bien comprendre ce chapitre.
Prérequis
Enoncé du théorème de Gauss
Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a∣bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a∣c.
Corollaire du théorème de Gauss
Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si b|a, c |a et PGCD(a,b) = 1 alors bc | a
Démonstration : il existe b’ \in \Z, c’ \in \Z tels que a =bb’ =cc’ . On peut donc écrire que b |cc’ . Or, d’après le théorème de Gauss, comme b et c sont premiers entre eux, b |c’ . On peut donc trouver k tel que c’ = bk . On a donc a = cc’ = bck . Donc bc |a .
Second corollaire du théorème de Gauss
Si a et b sont premiers entre eux et que a et c sont premiers entre eux alors a et bc sont premiers entre eux.
Généralisation du théorème de Gauss
Si n est divisible par plusieurs entiers premiers entre eux deux à deux, n est divisible par leur produit.
Démonstration du théorème de Gauss
Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls tels que a∣bc et a et b sont premiers entre eux.
On a donc PGCD(a,b) = 1. Donc, d’après le théorème de Bézout, il existe (u,v) \in \Z tel que au+bv = 1 .
En multipliant par c, on peut donc dire qu’on a cau + cbv = c . Donc si a |bc alors a | cbv . De plus, a | cau . Donc en additionnant : a | cau + cbv = c
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Résoudre dans \Z l’équation 13X = 21Y
Corrigé : On remarque que 13 | 21 Y. Remarquons aussi que PGCD(13,21) =1 . Ce qui fait qu’on utilise ensuite le théorème de Gauss pour en déduire que 13 | Y .
A partir de là on sait qu’il existe un entier relatif k tel que Y = 13k . Et donc, en réinjectant dans l’équation de départ cette expression, on obtient 13 X = 21 \times 13 k . Puis on simplifie par 13 pour obtenir X = 21k .
L’ensemble des solutions est alors de la forme \mathcal{S} = \{ (21k, 13k), k \in \Z \}
Exercice 2
Enoncé : Soit n un entier naturel. Démontrer que 6 | n^3 - n
Corrigé : Commençons par factoriser cette expression. On a alors n^3 - n = n(n^2-1) (on a utilisé à la fin une identité remarquable à la fin).
Maintenant, on remarque que n et n+1 sont deux entiers consécutifs donc forcément l’un des deux est divisible par 2. Ainsi, 2 |n(n-1) et donc 2 | n^3 -n. De même, n -1,n et n+1 sont trois entiers consécutifs donc l’un des trois est divisible par 3. Donc 3 |n^3-n.
Maintenant, comme 2 et 3 sont premiers entre eux, on en déduit que 6 = 2\times 3 | n^3 - n ce qui conclut cet exercice.
Exercice 3
Enoncé : Démontrer que x est un multiple de 5 pour toute solution de l’équation 11x + 30 y = 5
Corrigé : Réécrivons l’équation sous cette forme 11x+30y = 5 \iff 5-30y = 11x \iff 5(1-6y) = 11x . Maintenant, on sait donc que 5 |11 x . Il est évident que 5 et 11 sont premiers entre eux.
On peut donc appliquer le théorème de Gauss pour en déduire que 5 | x . x est donc bien un multiple de 5.
Exercices
Exercice 1
Déterminer les couples d’entiers relatifs (x;y) tels que 3x = 5y
Exercice 2
Un joueur a totalisé 200 points en lançant sur une cible 25 fléchettes.
La cible possède 3 zones qui rapportent respectivement 0, 5 et 12 points.
- Montrer que le nombre de fléchettes qui ont touché la zone à 12 points est divisible par 5.
- En déduire la répartition des fléchettes dans les différentes zones.
Exercice 3
Soient n et p des entiers strictement positifs. Démontrer que :
- n(n^4 – 1) est divisible par 30.
- L’écriture décimale de n^p et n^{p+4} se termine à droite par le même chiffre.
Exercice 4
Soit p un nombre premier, p \geq 5 . Démontrer que 24 | p^2 -1
Exercice 5
Montrer que le produit de 5 entiers consécutifs est divisible par 120.
Bonus : Trouver une démonstration utilisant les coefficients binomiaux
Exercice 6 – Bac S 2018 Métropole Spé Mathématiques
Un entier naturel n est appelé nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n, p^2 divise n.
- Vérifier qu’il existe deux entiers consécutifs inférieurs à 10 qui sont puissants.
- Soient a et b deux entiers naturels. Montrer que l’entier naturel n=a^2b^3 est un nombre puissant.
- Soit x un entier naturel. Montrer que 8x^2 et x^2 sont des entiers puissants.
Exercice 7
Démontrer que si la somme de deux fractions irréductibles est un entier alors les dénominateurs de ces fractions sont égaux.
Exercice 8
On considère des entiers naturels non nuls.
- Démontrer que deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux.
- Deux entiers impairs consécutifs sont-ils toujours premiers entre eux ? Justifier.
