Le théorème de Bézout : Cours et exercices corrigés

Découvrez le théorème de Bézout, un des théorèmes essentiels en arithmétique
Bézout

Découvrez le théorème de Bézout, un grand classique en arithmétique qu’il est nécessaire de connaitre pour avoir les bonnes bases.

Prérequis

Enoncé du théorème de Bézout

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1

Démonstration du théorème de Bézout

Sens direct : Si au + bv = 1 alors si d est un diviseur commun de a et b, alors d |au + bv = 1 donc d = 1 et a et b sont premiers entre eux.

Sens retour : Si a et b sont premiers entre eux alors on considère A = \{ n = au+bv \in \N , (u,v) \in \Z c’est à dire l’ensemble des entiers naturels non nuls de la forme au+bv avec u et v entiers relatifs. On a a \in A en prenant u=1,v=0. Donc A est une partie non vide de \N . Elle possède donc m = au_1+bv_1, un plus petit élément.

Faisons alors la division euclidienne de a par m . On a donc a = mq +r ce qui nous donne :

\begin{array}{ll}
r&=a-mq \\
& = a-q(au_1+bv_1)\\
&= a(1-qu_1)-qbv_1
\end{array}

Par définition 0 \geq r < m . De plus, si r \in A alors m n’est pas le plus petit élément. Donc r=0 . Ainsi, m | a. On obtient par le même raisonnement que m|b . Comme a et b sont premiers, alors nécessairement m =1

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : En utilisant l’algorithme d’Euclide, trouver une solution de l’équation 17x+31y=1

Corrigé : On utilise pour commencer l’algorithme d’Euclide :

\begin{array}{lll}
31& =& 17\times 1+14\\
17& =& 14\times 1+3\\
14& =& 3\times 4+2\\
3& =& 2\times 1+1\\
\end{array}

Cela suffit pour conclure que 31et 17sont premiers entre eux. Maintenant, on peut remonter l’algorithme d’Euclide :

\begin{array}{lll}
1& =& 3-2\times 1\\
& =& 3-(14-3\times 4)\times 1\\
& =& 3\times 5-14 \times 1\\
& =& (17-14)\times 5-14 \times 1\\
& =& 17\times 5-14 \times 6\\
& =& 17\times 5-(31-17) \times 6\\
& =& 17\times 11-31 \times 6\\
\end{array}

Exercice 2

Enoncé : A l’aide de l’algorithme d’Euclide, montrer que 370 et 113 sont premiers entre eux.
En déduire deux entiers u et v tels que 370u+113v=1

Corrigé : C’est le même exercice qu’avant mais avec plus de calculs. On utilise pour commencer l’algorithme d’Euclide :

\begin{array}{lll}
370& =& 113 \times 3+31\\
113& =& 31\times 3+20\\
31& =& 20\times 1+11\\
20& =& 11\times 1+9\\
11& =& 9\times 1+2\\
9& =& 2\times4+1\\
\end{array}

Cela suffit pour conclure que 370 et 113 sont premiers entre eux. Maintenant, on peut remonter l’algorithme d’Euclide :

\begin{array}{lll}
1& =& 9-2\times4\\
& =& 9-(11-9\times 1)\times 4\\
& =& 9 \times 5-11 \times 4\\
& =& (20-11\times 1)\times 5-11\times4\\
& =& 20 \times 5- 11 \times 9\\
& =& 20 \times 5 - (31-20\times1) \times 9\\
& =& 20 \times 14 - 31 \times 9\\
& =& (113-31\times 3)\times 14 - 31 \times 9\\
& =& 113\times 14 - 31 \times 51\\
& =& 113\times 14 - (370-113\times 3)\times 51\\
1& =& 113\times 167 - 370\times 51\\
\end{array}

u = 51 et v = 167 conviennent

Exercice 3

Enoncé : n est un entier naturel et a = 7n + 4 et b = 5n + 3. Montrer que pour tout n, que a et b sont premiers entre eux

Corrigé : On remarque que 7a -5b = 7 \times (5n+3)- 5 \times (7n+4)= 35n +21-35n -20 = 1 . D’après le théorème de Bézout, on en déduit que a et b sont premiers entre eux.

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