Le critère de Cauchy : Cours et exercice corrigé

Voici un critère de convergence de série à termes positifs : le critère de Cauchy

Enoncé

Commençons par énoncer le critère de Cauchy.

Si (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite positive à partir d’un certain rang telle que, (u_n^{1/n})_{n\in\mathbb{N}} converge vers une limite finie, l.

• Si \; l >1\; alors la série de terme général u_n diverge grossièrement.
• Si \; l<1\; alors la série de terme général u_n converge.
• Si \; l=1 \; , on ne peut pas conclure.

Le critère de Cauchy ressemble donc à celui de d’Alembert. Cependant, il est en général un peu plus puissant.

Démonstration

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}}\; une suite positive à partir d’un certain rang telle que (u_n)^{1/n} converge vers une limite finie, l.

Alors, par définition de la limite :

\forall\varepsilon>0, \;\exist N\in\mathbb{N},\;\forall n\geq N,\; |u_n^{1/n}-l|\leq \varepsilon \; 

Ce qu’on réécrit :

\forall\varepsilon>0, \;\exist N\in\mathbb{N},\;\forall n\geq N,\; l-\varepsilon\leq u_n^{1/n}\leq l+\varepsilon

De cet encadrement on peut alors démontrer le critère de Cauchy, il suffit de bien choisir nos epsilons !

Supposons notre limite supérieure strictement à 1, alors :
Posons : \;\varepsilon = \frac{l-1}{2}\;, l’encadrement nous donne : \;u_n \geq \left(\frac{l+1}{2}\right)^n
Cependant, \;\frac{l+1}{2}>1,\; donc la série de terme général \left(\frac{l+1}{2}\right)^{n} diverge et donc, \;\sum u_n\; diverge également.

Supposons maintenant notre limite inférieure strictement à 1, alors :
Posons : \;\varepsilon = \frac{1-l}{2}\;, l’encadrement nous donne : \;0\leq u_n \leq \left(\frac{l+1}{2}\right)^n
Cependant, \;\frac{l+1}{2}<1,\; donc la série de terme général \left(\frac{l+1}{2}\right)^{n} converge et donc, \;\sum u_n\; converge également.

Ce qui termine la preuve du critère de Cauchy !

Lien entre critère de Cauchy et critère de d’Alembert

Il existe un lien entre ces deux critères. En fait, si le critère de d’Alembert nous fourni un résultat, celui de Cauchy nous fourni nécessairement le même résultat, la réciproque n’est pas vraie : il est possible de ne pas réussir à conclure avec le critère de d’Alembert, mais d’y parvenir avec celui de Cauchy.

Montrons que si \;(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\; est une suite à termes positifs telle que \; \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \longrightarrow l\; alors, \;(u_n)^{1/n}\longrightarrow l\;

Prenons alors une telle suite, par définition de la limite :

 \forall\varepsilon>0,\; \exist n_0\in\mathbb{N},\; \forall n\geq n_0,\; l-\varepsilon\leq \frac{u_{n+1}}{u_n}\leq l+\varepsilon

Fixons donc \;n\geq n_0\; ainsi que \; \varepsilon\in[0,l[ \; on a :

(l-\varepsilon)u_n\leq u_{n+1}\leq (l+\varepsilon)u_n\\
(l-\varepsilon)u_{n-1}\leq u_{n}\leq (l+\varepsilon)u_{n-1}\\
...\\
(l-\varepsilon)u_{n_0+1}\leq u_{n_0+2}\leq (l+\varepsilon)u_{n_0+1}\\
(l-\varepsilon)u_{n_0}\leq u_{n_0+1}\leq (l+\varepsilon)u_{n_0}\\

Et donc, puisque tout est positif (on pourrait directement faire une récurrence..)

\prod_{k=n_0}^{n}(l-\varepsilon)u_k\leq \prod_{k=n_0}^{n}u_{k+1}\Leftrightarrow(l-\varepsilon)^{n-n_0+1}u_{n_0}\leq u_{n+1}\\
\prod_{k=n_0}^{n}u_{k+1}\leq\prod_{k=n_0}^{n}(l+\varepsilon)u_k \Leftrightarrow u_{n+1} \leq (l+\varepsilon)^{n-n_0+1}u_{n_0}\\
\text{Donc,\;} (l-\varepsilon)^{n-n_0+1}u_{n_0}\leq u_{n+1}\leq(l+\varepsilon)^{n-n_0+1}u_{n_0}

Ainsi, en composant par la racine (n+1)-ième :

(l-\varepsilon)^{1-\frac{n_0}{n+1}}u_{n_0}^{\frac{1}{n+1}}\leq u_{n+1}^{\frac{1}{n+1}}\leq(l+\varepsilon)^{1-\frac{n_0}{n+1}}u_{n_0}^{\frac{1}{n+1}}

On fait à présent tendre n vers l’infini,

(l-\varepsilon)^{1-\frac{n_0}{n+1}}u_{n_0}^{\frac{1}{n+1}}\longrightarrow l-\varepsilon\\
(l+\varepsilon)^{1-\frac{n_0}{n+1}}u_{n_0}^{\frac{1}{n+1}}\longrightarrow l+\varepsilon\\

Ainsi, lorsque n tend vers l’infini, la quantité \; u_{n+1}^{\frac{1}{n+1}}\; est coincée entre \;l-\varepsilon\; et \;l+\varepsilon\;.
Donc, il existe un rang \; n' \; à partir duquel cette quantité est coincée entre \;l-3\varepsilon\; et \;l+3\varepsilon\;.
Et ce, pour tout \; \varepsilon \; suffisamment petit.
On en déduit donc que la suite de terme général \;u_{n}^{\frac{1}{n}}\; converge également vers \;l

Etude de la réciproque

La réciproque est fausse, il suffit de trouver le bon contre-exemple, posons la suite (u_n)_{n \in \N} définie par

u_n = \left \{\begin{array}{ll} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n &\text{si } n = 2k\\
\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} &\text{si } n = 2k+1 \end{array} \right. 

La critère de Cauchy s’applique bien :

• Si n est pair : \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n=\lim_{n \to + \infty} \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}= \dfrac{1}{2}
• Si n est impair : \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n =\lim_{n \to + \infty} \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1-\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{2}

Par contre le critère de d’Alembert ne s’applique pas :

• Si n est pair : \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle \lim_{k \to + \infty} \dfrac{u_{2k+1}}{u_{2k}}=\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^n}=1
• Si n est impair : \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle \lim_{k \to + \infty} \dfrac{u_{2k+2}}{u_{2k+1}}=\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}=\dfrac{1}{4}

Ce qui n’est pas suffisant pour conclure

Exercice corrigé

Déterminer si les séries suivantes convergent ou non :

1. \displaystyle \sum\left(a+1/n)^n\right)\; où \;a\in\mathbb{R^+}\;
2. \displaystyle \sum \frac{(n+1)^2}{n^n}
3. \displaystyle \sum \frac{2^n}{n^{\alpha}}\left(\sin\beta\right)^{2n} où \; (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\;

Question 1

Commençons par le premier exemple, on pose \;u_n = (a+1/n)^n\; alors \; u_n ^{1/n} = a+1/n \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}a\;.
On sait donc par le critère de Cauchy, que cette série converge si a<1 , et qu’elle diverge si a>1 .
Qu’en est-il alors si a=1 ?
Dans ce cas, \; u_n = (1+1/n)^n \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} e.\; Donc la série diverge grossièrement !

Question 2

Passons au second exemple, posons \;v_n = \frac{(n+1)^2}{n^n}\; alors, \;v_n ^{1/n}=\frac{(n+1)^{2/n}}{n}=n^{\frac2n -1}(1+\frac1n)^{2/n}
D’où,

v_n ^{1/n}=n^{\frac2n -1}e^{\frac2n\ln(1+1/n)} = e^{(\frac{2}{n}-1)\ln(n)}e^{\frac2n\left(\frac1n +o\left(\frac1n\right)\right)} = e^{\frac{2\ln(n)}{n}-\ln(n)+\frac{2}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)} 

Mais, \; \frac{2\ln(n)}{n}+\frac{2}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right) = o(1)

Donc, \exist k \in\mathbb{R} \; tel que

v_n ^{1/n} = e^{-\ln(n)+o\left(1\right)}=\frac{k}{n}\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}0

Par le critère de Cauchy, la série de terme général \;v_n\; est donc convergente !
On pourra d’ailleurs remarquer qu’il était beaucoup plus simple d’utiliser le critère de d’Alembert ici.

Question 3

Finissons avec le troisième exemple, on pose \;w_n = \frac{2^n}{n^{\alpha}}\left(\sin\beta\right)^{2n}\; alors,
\; w_n ^{1/n} = \frac{2(\sin\beta)^2}{n^{\alpha/n}}= 2(\sin\beta)^2 e^{-\frac{\alpha}{n}\ln(n)} \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}2\sin(\beta)^2 \;
Il nous reste juste à distinguer des cas, selon la valeur de \beta.

2\sin(\beta)^2> 1 \Longleftrightarrow |\sin(\beta)|>\frac{\sqrt2}{2}

On se repère grâce au cercle trigonométrique, aux variations connues de la fonction sinus.

|\sin(\beta)| > \frac{\sqrt2}{2} \Longleftrightarrow \beta\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left]\frac\pi4+k\pi,\frac{3\pi}{4}+k\pi\right[

Ainsi, la série de terme général \; w_n \; diverge si \; (\beta \mod [\pi]) \in \left]\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right[
Elle converge alors si \; (\beta \mod [\pi]) \in \left]-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right[ , toujours par la règle de Cauchy.
Il reste alors le cas d’égalité, c’est à dire : lorsque \; 2\sin(\beta)^2 = 1 \; ce qui équivaut à, \; \beta \in \lbrace \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\rbrace\;.
Mais dans ce cas,

\;w_n = \frac{2^n}{n^\alpha}\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{2n} =\frac{1}{n^{\alpha}}

Et alors c’est le critère de Riemann. Dans le cas cité ci-dessus, la série converge si et seulement si \alpha > 1 .
Ce qui termine ce troisième exercice !