Le complémentaire est une opération fondamentale en théorie des ensembles. Il permet de définir un nouvel ensemble à partir d’un ensemble donné et d’un ensemble universel. Dans cet article, nous allons explorer ce concept en détail.
Définition du complémentaire
Le complémentaire d’un ensemble A, par rapport à un ensemble plus grand E, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à E mais pas à A. Mathématiquement, cela s’écrit :
{}^C A = \{x \in E | x \notin A\}Par exemple, si E = \{1, 2, 3, 4, 5\} est le grand ensemble et A = \{1, 2, 3\}, alors le complémentaire de A est {}^C A = \{4, 5\}. Notez qu’on a défini un complémentaire d’un ensemble par rapport à un autre ensemble de base E, c’est important. Souvent il est assez évident mais il peut être nécessaire de le définir.
Propriétés
Voici quelques propriétés :
- Double complémentaire : Le complémentaire du complémentaire d’un ensemble A est A lui-même. Cela peut être écrit comme suit : {}^C({}^C A) = A. On dit que c’est involutif.
- Complémentaire de l’ensemble complet et de l’ensemble vide : Le complémentaire de l’ensemble complet est l’ensemble vide. Réciproquement, le complémentaire de l’ensemble vide est l’ensemble complet. Cela peut être écrit comme suit : {}^C E = \emptyset et {}^C \emptyset = E.
- Lois de De Morgan : Le complémentaire de l’union de deux ensembles est l’intersection des complémentaires, et le complémentaire de l’intersection de deux ensembles est l’union des complémentaires. Cela peut être écrit comme suit : {}^C (A \cup B) = {}^C A \cap {}^C B et {}^C(A \cap B) = {}^C A \cup {}^C B.
