Dans cet article, nous allons vous présenter l’expérience de l’aiguille de Buffon, effectuée pour la première fois par Georges-Louis Leclerc de Buffon, en 1733
Description de l’aiguille de Buffon
On va lancer un grand nombre de fois une aiguille sur un parquet. On va compter la proportion d’aiguilles qui tombent à cheval sur 2 lattes différentes du parquet. Pour cela, il faut lancer un grand nombre d’aiguilles. Comme nous allons le voir plus loin, cela va nous permettre d’avoir une approximation de \pi .
Hypothèses
Pour que l’expérience de l’aiguille de Buffon fonctionne correctement, il est nécessaire que :
- Les lancers soient indépendants
- Il faut faire en sorte qu’avec ces lancers on ait une loi uniforme, c’est à dire qu’on soit dans une situation d’équiprobabilité.
- Il y ait suffisamment de lancers
- Les lancers soient reproduits dans des situations identiques
- La longueur de l’aiguille sois inférieur ou égale à celle d’une planche du parquet
Modélisation mathématique
On note :
- l la largeur d’une latte de parquet
- a la longueur de l’aiguille
On a alors la probabilité p de couper une rainure qui est de
p \approx \dfrac{2a}{\pi l} \iff \pi \approx \frac{2a}{lp}De cette manière, en comptant la proportion d’aiguilles qui touchent une latte de parquet, on aura alors, en renversant l’équation, une approximation de \pi
Si la longueur de l’aiguille est beaucoup plus grande que celle d’une planche de parquet, on a aussi une formule :
p \approx 1 - \dfrac{l}{\pi a}Pour en savoir plus, cette vidéo me semble très pertinente :
