Cet article a pour but de présenter la transposée d’une matrice à travers sa définition, des propriétés et exemples. Il est bien d’avoir les connaissances de base sur ce qu’est une matrice .
Définition
Soit A une matrice (non nécessairement carrée) de taille n x p définie par ses coefficients (aij). La transposée A, notée tA est la matrice dont on fait la symétrie par rapport à la diagonale directe. C’est donc une matrice de taille p x n. Son coefficient i,j est défini par
\forall i \in \{1, \ldots, p \}, \forall j \in \{1, \ldots, n\},(^tA) _{ij}= a_{ji}
C’est donc une application de
M_{n,p}(\mathbb K) \mapsto M_{p,n}(\mathbb K)
Attention : elle peut avoir plusieurs notations. Elle peut par exemple être notée à droite et avec un T majuscule :
A^T
Exemple
Exemple 1 : Avec une matrice carrée
Prenons la matrice suivante :
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
La transposée de A est alors
^tA = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}
Exemple 2 : Avec une matrice quelconque
Soit A la matrice définie par
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8\\ \end{pmatrix}
La transposée de A va s’écrire
^t A = \begin{pmatrix} 1 & 5\\ 2 & 6 \\ 3 & 7 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}
Propriétés
La transposée présente diverses propriétés.
Linéarité de la transposée
Tout d’abord, c’est une application linéaire. Elle vérifie donc la propriété suivante :
\forall A,B \in M_{n,p}(\mathbb{K}) , {}^t (A+B) = {}^t A + {}^t B
Ainsi que celle-ci :
\forall A M_{n,p}(\mathbb{K}), \forall \lambda \in \mathbb K, {}^t (\lambda A) =\lambda {}^t A
Inverse de la transposée
Pour calculer son inverse, c’est facile, la formule suivante donne le bon résultat :
({}^tA)^{-1} = {}^t(A^{-1})
Trace de la transpoée
Pour sa trace, c’est facile, c’est la même que la matrice originelle, il faut donc calculer
tr({}^tA ) = tr(A)
Bien évidemment, la matrice doit être carrée !
Déterminant de la transposée
Même chose que pour la trace, il est égal au déterminant de la matrice originelle. On a donc, de manière évidente, la relation suivante
\det({}^tA) = \det(A)
Produit de la transposée
Ici, attention, on inverse. Mais rassurez-vous, rien de bien méchant ! Voici la formule à retenir :
{}^t(AB) = {}^tB {}^tA
A noter :
- Une matrice qui est égale à sa transposée est dite symétrique
- Une matrice qui est égale à l’opposé de sa transposée est dite antisymétrique