La transposée d’une matrice : Cours et propriétés

Cet article a pour but de présenter la transposée d’une matrice à travers sa définition, des propriétés et exemples. Il est bien d’avoir les connaissances de base sur ce qu’est une matrice .

Définition

Soit A une matrice (non nécessairement carrée) de taille n x p définie par ses coefficients (a_ij). La transposée A, notée ^tA est la matrice dont on fait la symétrie par rapport à la diagonale directe. C’est donc une matrice de taille p x n. Son coefficient i,j est défini par

\forall i \in \{1, \ldots, p \}, \forall j \in \{1, \ldots, n\},(^tA) _{ij}= a_{ji}

C’est donc une application de

M_{n,p}(\mathbb K) \mapsto M_{p,n}(\mathbb K)

Attention : elle peut avoir plusieurs notations. Elle peut par exemple être notée à droite et avec un T majuscule :

A^T

Exemple

Exemple 1 : Avec une matrice carrée

Prenons la matrice suivante :

A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
 \end{pmatrix}

La transposée de A est alors

^tA = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8\\
3 & 6 & 9
 \end{pmatrix}

Exemple 2 : Avec une matrice quelconque

Soit A la matrice définie par

A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8\\
 \end{pmatrix}

La transposée de A va s’écrire

^t A = \begin{pmatrix}
1 & 5\\
2 & 6 \\
3 & 7 \\
4 & 8
 \end{pmatrix}

Propriétés

La transposée présente diverses propriétés.

Linéarité de la transposée

Tout d’abord, c’est une application linéaire. Elle vérifie donc la propriété suivante :

\forall A,B \in M_{n,p}(\mathbb{K}) , {}^t (A+B) = {}^t A + {}^t B

Ainsi que celle-ci :

\forall A M_{n,p}(\mathbb{K}), \forall \lambda \in \mathbb K, {}^t (\lambda A) =\lambda {}^t A 

Inverse de la transposée

Pour calculer son inverse, c’est facile, la formule suivante donne le bon résultat :

({}^tA)^{-1} = {}^t(A^{-1})

Trace de la transpoée

Pour sa trace, c’est facile, c’est la même que la matrice originelle, il faut donc calculer

tr({}^tA ) = tr(A)

Bien évidemment, la matrice doit être carrée !

Déterminant de la transposée

Même chose que pour la trace, il est égal au déterminant de la matrice originelle. On a donc, de manière évidente, la relation suivante

\det({}^tA)  = \det(A)

Produit de la transposée

Ici, attention, on inverse. Mais rassurez-vous, rien de bien méchant ! Voici la formule à retenir :

{}^t(AB) = {}^tB {}^tA

A noter :

• Une matrice qui est égale à sa transposée est dite symétrique
• Une matrice qui est égale à l’opposé de sa transposée est dite antisymétrique