Dans cet article, nous allons vous présenter la loi du 0-1 (zéro-un) de Kolmogorov. Cette loi se révèle utile dans certains cas en probabilité
Définition
Eléments introductifs
On (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) un espace de probabilité, (A_n) une suite de sous-tribus de \mathcal{A} . On pose B_n = \sigma \left ( \cup_{k \geq n} A_k \right) . On pose A_{\infty} = \cap_{n \geq 1}B_n.
On appelle évènement de queue associé à la suite (A_n) un évènement de A_{\infty}
Enoncé de la loi du 0-1 de Kolmogorov
La loi du 0-1 (zéro-un) de Kolmogorov est la suivante : pour tout évènement de queue A, on a \mathbb{P} (A) \in \{0,1\}
Parfois, il peut être très difficile de trancher
Exemple d’application
Voici un exemple d’application de la loi du 0-1 de Kolmogorov : Soit une suite de variables aléatoires (X_n). On pose A_n = X_n^{-1}(B) où B est un borélien de \R
L’évènement “ \displaystyle \sum_{n \geq 1 } X_n converge” est un événement de queue, sa réalisation dépend du comportement de X_n à l’infini mais pas des premiers termes pour tout valeur finie. Donc sa probabilité vaut 0 ou 1.
Démonstration de la loi du 0-1 de Kolmogorov
Tout d’abord, les tribus U_n = \sigma (A_1 \cup \ldots \up A_{n-1} et A_n = \sigma (\cup_{k \geq n } sont indépendantes.
La tribu A_{\infty} \subset T_n , donc \forall n \in \N, A_{\infty} et U_n sont indépendants. On pose alors U = \sigma \left(\cup_{n \geq 1}A_n \right).
On obtient que \cup_{n \geq 1}A_n et A_{\infty} sont indépendants. Le lemme de classe monotone nous assure ensuite que U et A_{\infty} sont indépendants. Ainsi, \forall A \in U, B \in A_{\infty}, \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B).
Or, comme A_{\infty}\subset U, on a \forall A = B \in A_{\infty} \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A)^2. D’où \mathbb{P} \in \{0,1\}
