La Loi de Composition Interne : Une Introduction

Qu’est-ce qu’une loi de composition interne ? Découvrez-le dans cet article qui explique cette notion fondamentale en algèbre !
Loi de composition interne

Bienvenue sur notre Progresser-en-maths, où nous explorons les notions fondamentales des mathématiques de manière approfondie et accessible. Aujourd’hui, nous allons nous plonger dans une notion clé en algèbre : la loi de composition interne.

Définition

Dans le domaine des mathématiques, une loi de composition interne est une opération binaire qui combine deux éléments d’un ensemble pour donner un troisième élément qui appartient également à cet ensemble. En d’autres termes, si nous avons un ensemble E et une opération * définie sur E, alors pour tous les éléments a et b dans E, a*b est également dans E.

* : \left\{ \begin{array}{ccc} E\times E & \to & E \\ (a,b) & \mapsto & a *b \end{array} \right. 

Les lois internes sont fondamentales dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris l’arithmétique, l’algèbre, et au-delà.

Exemples

Un exemple classique de loi de composition interne est l’addition dans l’ensemble des nombres entiers. Soient deux nombres entiers a et b, la somme a+b est également un nombre entier.

De même, la multiplication est une loi de composition interne pour l’ensemble des nombres réels. Soient deux réels a et b, le produit a*b est aussi un nombre réel.

Il est important de noter que toutes les opérations ne sont pas des lois de composition interne pour tous les ensembles. Par exemple, la soustraction n’est pas une loi de composition interne pour l’ensemble des entiers naturels. Soient deux entiers naturels a et b, a-b n’est pas nécessairement un entier naturel.

Propriétés

Il y a deux propriétés importantes associées aux lois de composition interne : l’associativité et la commutativité.

Une loi de composition interne est dite associative si pour tous les éléments a, b et c dans l’ensemble, (a*b)*c=a*(b*c).

Elle est dite commutative si pour tous les éléments a et b dans l’ensemble, a*b = b*a .

Il est à noter que toutes les lois de composition interne ne sont pas nécessairement associatives ou commutatives.

Importance

Les lois de composition interne sont des outils clés en algèbre et en mathématiques en général. Elles nous permettent de définir et de comprendre les structures algébriques, comme les groupes, les anneaux et les corps, qui sont des fondations des mathématiques modernes.

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